Bonjour à tous , alors voilà je calle sur un devoir de math et j'aimerai savoir si l'un d'entre vous pourrait m'aider! Je suis en 4eme secondaire (Belgique) donc 1ère lycée pour les camemberts

Voilà je vous pose l'énoncé :

Soit x1 et x2 les deux racines de l'équation ax²+bx+c=o
Ecrit une équation (en utilisant les coefficient a,b et c)qui admette les deux solutions : x1² et x2²

remarque supplémentaire : Mais x1 et x2 , les chiffres 1 et 2 sont des exposants inverses, donc petit et en dessous de x mais je sais pas les faire à l'ordi.

Voilà j'attends vos réponses avec une bref explication car copier bêtement servirai à rien

Salut pour te mettre sur la voie voici mon petit indice : un équation du style <math>\(ax^2+bx+c=0\)</math> peut être écrite sur un autre forme :<math>\((x_1-x)(x_2-x)=0\)</math> où <math>\(x_1 \text{ et } x_2\)</math> sont les racines.
Maintenant, si tu développe ce produit, on obtient <math>\(x_1x_2-x_2x-x_1x+x^2=0\)</math> ou encore <math>\(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\)</math>. Là tu reconnais l'expression générale avec <math>\(b=\)</math>l'opposée de la somme des racines et <math>\(c=\)</math> le produit (on divise le tout par "a" au besoin pour avoir <math>\(x^2\)</math> seul au début. Conclusion, construire une équation depuis les racine est assez simple, il suffit de poser ton b et ton c comme il faut.

NB: pour écrire de belles formules de math, va voir le cour sur le Zcode
Salut Salut

Citation : TheCoon

Bonjour à tous , alors voilà je calle sur un devoir de math et j'aimerai savoir si l'un d'entre vous pourrait m'aider! Je suis en 4eme secondaire (Belgique) donc 1ère lycée pour les camemberts

Voilà je vous pose l'énoncé :

Soit x1 et x2 les deux racines de l'équation ax²+bx+c=o
Ecrit une équation (en utilisant les coefficient a,b et c)qui admette les deux solutions : x1² et x2²

remarque supplémentaire : Mais x1 et x2 , les chiffres 1 et 2 sont des exposants inverses, donc petit et en dessous de x mais je sais pas les faire à l'ordi.

Voilà j'attends vos réponses avec une bref explication car copier bêtement servirai à rien

Un truc du genre : <math>\(\displaystyle ax^{2} - \left(\frac{b^{2}}{a} - 2c\right)x + \frac{c^{2}}{a^{2}} = 0\)</math>.

Citation

Citation : ?

Là tu reconnais l'expression générale avec b=l'opposée de la somme des racines et c= le produit (on divise le tout par "a" au besoin pour avoir x^2 seul au début. Conclusion, construire une équation depuis les racine est assez simple, il suffit de poser ton b et ton c comme il faut.

J'ai dû mal à saisir ça, peux-tu ré-essayer, le reste plus haut me pose pas de problème dans ma compréhension.

(J'aurais plutôt dit <math>\(\frac{c^2}{a}\)</math> au lieu de <math>\(\frac{c^2}{a^2}\)</math>, une erreur de frappe surement)

En gros ce qu'il dit montre dans ce que tu as compris, c'est que <math>\(x_1\)</math> et <math>\(x_2\)</math> sont solutions de <math>\(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2\)</math> c'est à dire <math>\(a=1\)</math>, <math>\(b=-(x_1+x_2)\)</math> et <math>\(c = x_1x_2\)</math>, si jamais <math>\(a \neq 1\)</math> (ce qui est souvent le cas en général), on a alors <math>\(\frac{b}{a} = -(x_1+x_2)\)</math> et <math>\(\frac{c}{a} = x_1x_2\)</math> (car en divisant par a on retrouve un cas où "a vaudrait 1")

Exemple pratique : si tu veux un polynôme de racine 3 et 5 par exemple, tu peux prendre <math>\(x^2-(3+5)x + 3*5\)</math> ie <math>\(x^2 - 8x + 15\)</math> mais on peut aussi tout multiplier par <math>\(a\)</math> quelconque, disons <math>\(a=2\)</math>, on obtient : <math>\(2x^2 - 16x + 30\)</math> et cette fois on a plus <math>\(b=-(3+5)\)</math> et <math>\(c = 3*5\)</math> mais bien <math>\(\frac{b}{a} = -(3+5)\)</math> et <math>\(\frac{c}{a} = 3*5\)</math>

Dans ton cas : tu as plusieurs solutions, je vais t'en proposer 2 :
- la brutale : tu calcules <math>\(x_1\)</math> et <math>\(x_2\)</math>, ça te permet de calculer <math>\(x_1^2\)</math> et <math>\(x_2^2\)</math>, et ensuite tu utilises ce qu'il y a ci-dessus (ou tu re-développes <math>\((x-x_1^2)(x-x_2^2)\)</math>) pour trouver le polynôme qu'il te faut. En gros, c'est calculatoire.
- la subtile (qu'on peut faire de tête presque ^^) : tu sais que tu as <math>\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)</math> et <math>\(-(x_1+x_2) = \frac{b}{a}\)</math>, en mettant tout ça au carré, tu obtiens : <math>\(x_1^2x_2^2 = \frac{c^2}{a^2}\)</math> et <math>\(x_1^2+x_2^2 = \frac{b^2}{a^2}-2x_1x_2\)</math>
et comme <math>\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)</math> tu tombes sur <math>\(-(x_1^2+x_2^2) = -(\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a})\)</math>
Avec ce qui a été dit plus haut, tu retombes facilement sur l'expression donnée par Neoterranos modulo une multiplication par <math>\(a\)</math> et la petite faute de frappe que j'ai relevée(personnellement, j'aurais multiplié par <math>\(a^2\)</math> pour obtenir <math>\(a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2\)</math>, mais c'est vraiment une question de goût).