Équation du second degré

Résolution apparemment juste mais fausse

Sujet résolu

Anonyme

16 janvier 2011 à 14:02:09

Bonjour !
Mon frère de 1ère m'expliquait une méthode de résolution pour les équations que je ne connaissais pas (étant en 3ème). Voulant essayer avec ce que je connais (les 3 premières identités remarquables que l'on voit, (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²+2ab-b² et (a+b)(a-b)=a²-b²), je commence puis, au moment de tester nos résultats, je remarque que j'ai faux.
Je cherche alors l'erreur, et, vérifiant mes étapes, ne trouve pas le problème.
L'équation était 5x²+2x-40=2x²-6x+5
Voici les calculs que j'ai fait:

Equation de départ : <math>\(5 x^2 + 2 x - 40 = 2 x^2 - 6 x + 5\)</math>
Je mets un membre à zéro : <math>\(5 x^2-2 x^2+2 x+6 x-4 x-5 = 0\)</math>
Je réduis : <math>\(3 x^2+8 x-45 = 0\)</math>
Je me prépare à utiliser l'identité (a+b)²=a²+2ab+b² : <math>\(3 x^2+2 (\frac{4}{3}*3 x)+(\frac{4}{3})^2-(45+(\frac{4}{3})^2) = 0\)</math>
J'utilise cette identité : <math>\((\sqrt{3} x+\frac{4}{3})^2-(45+(\frac{4}{3})^2) = 0\)</math>
Je me prépare à utiliser l'identité (a+b)(a-b)=a²-b² : <math>\((\sqrt{3} x+\frac{4}{3})^2-\sqrt{45+(\frac{4}{3})^2} = 0\)</math>
J'utilise cette identité : <math>\((\sqrt{3} x+\frac{4}{3}+\sqrt{45+(\frac{4}{3})^2}) (\sqrt{3} x+\frac{4}{3}-\sqrt{45+(\frac{4}{3})^2}) = 0\)</math>

Or un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul
Donc <math>\(\sqrt{3} x+\frac{4}{3}+\sqrt{45+(\frac{4}{3})^2}=0\)</math>ou <math>\(\sqrt{3} x+4/3-sqrt(45+(4/3)^2)=0\)</math>

Et <math>\(x=\frac{\frac{-4}{3}-\sqrt{45+(\frac{4}{3})^2}}{\sqrt{3}}\)</math>et <math>\(x=\frac{\frac{-4}{3}+\sqrt{45+(\frac{4}{3})^2}}{\sqrt{3}}\)</math>

Les solutions (d'après Wolfram|Alpha ^^, en accord avec mon frère) sont d'environ 2.76 et -5.43. Or les miennes valent environ 2.72 et 1.84. Je ne parviens pourtant pas à localiser l'erreur. Je me demande alors si l'un de vous arriverait à la trouver et à m'expliquer pourquoi c'est faux.
Merci d'avance.
Au revoir.

Anonyme

16 janvier 2011 à 14:17:24

(3*x+4/3)²=9x²+8x+16/6 (quand tu utilises l'identité remarquable (a+b)²)

Anonyme

16 janvier 2011 à 14:26:48

Donc c'est <math>\((\sqrt{3}x+\frac{4}{3})^2\)</math> ??
(Parce que je l'utilise à l'envers)

EDIT: Alors ça fait
Et <math>\(x=\frac{\frac{-4}{3}-\sqrt{45+(\frac{4}{3})^2}}{\sqrt{3}}\)</math>et <math>\(x=\frac{\frac{-4}{3}+\sqrt{45+(\frac{4}{3})^2}}{\sqrt{3}}\)</math>

EDIT2: Ca marche pas (ni là) non plus, mais c'est déjà plus juste

Anonyme

16 janvier 2011 à 16:40:36

Quentin01

16 janvier 2011 à 17:32:58

Moi pour ton exemple malgré que ce ne soit pas la technique que tu as appris de ton frère j'aurais utilisé la résolution par discriminant, ce qui nous donne quand même quelques choses de plus simple.

Les équations du second degré peuvent s'écrire : <math>\(ax^2 + bx + c\)</math> or on peut résoudre cette équation si elle est égale à zéro par discriminant. Ici a est égale à 3, b est égale à 8 et c est égale à -45.

<math>\(x = \frac{b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)</math>
<math>\(\Delta = b^2 - 4ac\)</math>

<math>\(\Delta = 8^2 - (4 * 3 * (-45)) = 64 + 540 = 604\)</math>
<math>\(x = \frac{8\pm\sqrt{604}}{6}\)</math>

Donc :
<math>\(x = \frac{4 + \sqrt{151}}{3}\)</math> ou <math>\(x = \frac{4 - \sqrt{151}}{3}\)</math>
Même résultat que zMath. Après je trouve cette méthode plus facile qu'avec les identités remarquables, mais ce n'est que mon point de vue

Anonyme

16 janvier 2011 à 17:42:02

À ZMath : Merci ! J'ai bien compris

À Quentin01 : Oui, c'est la technique là que mon frère m'a montrée, mais je voulais voir si je pouvais le faire avec les identités que je connais

La preuve que j'ai compris

:
6x²+12x-80=4x²+8x+2
6x²-4x²+12x-8x-80-2=0
2x²+4x-82=0
x²+2x-41=0(/2, mais bon 0 quand même)
x²+2*1x+1(², mais 1 quand même)-42=0
(x+1)²-42=0
(x+1)²-(sqrt(42)²)=0
(x+1+sqrt(42))(x+1-sqrt(42))=0
Un produit =0 <=> au moins 1 des facteurs == 0
x+1+sqrt(42)=0 ou x+1-sqrt(42)=0
x=-sqrt(42)-1 et sqrt(42)-1

19x²+56x+42=12x²+23x+80
19x²-12x²+56x-23x+42-80=0
7x²+33x-38=0
x²+(33/7)x-38/7=0/7=0
x²+2x(33/14)+(33/14)²-(33/14)²-38/7=0
(x+33/14)²-(38/7+33/14²)=0
(x+33/14)²-(1064/196+1089/196)
(x+33/14)²-(2153/196)
(x+33/14)²-(sqrt(2153/196))²
(x+33/14+sqrt(2153/196))(x+33/14-sqrt(2153/196))=0
Donc x=-sqrt(2153/196)-33/14 et sqrt(2153/196)-33/14

56x²+5x-9=12x²-2x+80
56x²-12x²+5x+2x-9-80=0
44x²+7x-89=0
x²+(7/44)x-(89/44)=0
x²+2(7/88)x+(7/88)²-(7/88)²-(89/44)=0
(x+7/88)²-(7/88)²-(89/44)=0
(x+7/88)²-(49/7744+89/44)=0
(x+7/88)²-(49/7744+15664/7744)=0
(x+7/88)²-(15713/7744)=0
(x+7/88)²-(sqrt(15713/7744))²=0
(x+7/88+sqrt(15713/7744))(x+7/88-sqrt(15713/7744))=0
Or un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul
Donc x+7/88+sqrt(15713/7744)=0 ou x+7/88-sqrt(15713/7744)=0
x1=-sqrt(15713/7744)-7/88 et x2=sqrt(15713/7744)-7/88

Quentin01

16 janvier 2011 à 17:46:17

Ah d'accord, oui avec les identités remarquables comme tu l'as fait c'est tout à fait possible. Il n'y a aucune raison que ça ne le soit pas. Mais, c'est quand même ce compliqué la vie de vouloir faire ça avec les identités remarquables comme tu te retrouves avec des fractions et des racines carrés de partout.

Si le problème est résolu passe le sujet au vert

Anonyme

16 janvier 2011 à 18:01:47

Le "+ et -", c'est "un symbole pour les réunir toutes" (les solutions, enfin les symboles + et - qui dans les deux cas donnent une solution correcte) ?

EDIT: Ah oui, c'était bien ça