Bonjour ,

Je travaille en ce moment sur un DM de maths (niveau terminale), et je bloque sur un exercice sur les équa diff. Le problème c'est que le résultat que j'obtiens ne correspond pas à celui que je devrais obtenir.

Enoncé :
On considère l'équation différentielle : <math>\(y' - 2y = \exp(2x)\)</math> (*)

1) Montrer que la fonction <math>\(h(x) = x\exp(2x)\)</math> est solution de cette équation (*).
Ça c'est bon. Je remplace y par h(x) et je vérifie si le résultat donne <math>\(\exp(2x)\)</math> :
<math>\(h'(x) - 2h(x) = (1 * \exp(2x) + 2\exp(2x) * x) -2x\exp(2x)\)</math>
<math>\(h'(x) - 2h(x) = \exp(2x)\)</math>
=> la fonction h est bien solution de (*).

2) Résoudre (E) <math>\(y' = 2y\)</math>
C'est bon aussi : les fonctions solution de (E) sont <math>\(f(x) = k\exp(2x)\)</math>

3) a) Montrer que si <math>\(f(x)\)</math> est solution de (*), alors la fonction g définie par <math>\(g(x) = f(x) - h(x)\)</math> est solution de (E).
C'est là que je bloque. Je cherche les fonctions solutions de (*) :

<math>\(y' = 2y + \exp(2x)\)</math>
<math>\(f(x) = k\exp(2x) - \frac{\exp(2x)}{2}\)</math>

Ensuite j'exprime g(x) :

<math>\(g(x) = f(x) - h(x)\)</math>
<math>\(g(x) = k\exp(2x) - \frac{\exp(2x)}{2} - x\exp(2x)\)</math>

Et je vérifie l'égalité <math>\(g'(x) = 2g(x)\)</math>. Si elle est vraie, alors g(x) est solution de (E):
Pour celà j'exprime g'(x) :

<math>\(g'(x) = 2k\exp(2x) - 2\exp(2x) -2x\exp(2x)\)</math>

Et 2g(x) :

<math>\(2g(x) = 2k\exp(2x) - \exp(2x) - 2x\exp(2x)\)</math>

Mes 2 résultats ne sont pas égaux...
Du coup, est-ce que je me suis trompé dans les calculs ? Ou alors j'aurais mal compris la question ?

Merci d'avance

Je n'ai pas compris quand tu écris f(x) = k.exp(2x) - exp(2x)/2

Tu ne connais pas (a priori, sinon l'exo est inutile) la forme de f, tu sais juste qu'elle vérifie l'équation (*). Donc, quand tu dérive g :
g'(x) = f'(x) - h'(x) = 2f(x) + exp(2x) - ... = 2 g(x) (probablement)

Non ?

Quand l'énoncé dis : "Montrer que [...] la fonction <math>\(g(x) = f(x) - h(x)\)</math> est solution de (E)". Ça veut bien dire qu'il faut vérifier l'égalité <math>\(g'(x) = 2g(x)\)</math> n'est-ce pas ?
Ce que je ne comprend pas trop c'est : "Montrer que si f(x) est solution de (*)...". Si je n'ai pas f(x), comment faire alors pour exprimer g(x) et ensuite comparer g'(x) et 2g(x) ?

Oui, c'est bien ce que tu dois faire. Tu as g(x) = f(x) - h(x).
Essaye de continuer le calcul
g'(x) = f'(x) - h'(x) = 2f(x) + exp(2x) -...
Tu vois que même si tu n'as pas f(x), ce n'est pas gênant : à la fin il te reste du f(x), c'est normal puisqu'il y a du f(x) dans g(x).

Ah ok, je crois comprendre : si f(x) est solution de (*), alors je devrais remplacer y par f(x) dans (*) et donc ça donne <math>\(f'(x) = 2f(x) + \exp(2x)\)</math>.

Et donc par la suite je peux exprimer g'(x) :
<math>\(g'(x) = f'(x) - h'(x)\)</math>
<math>\(g'(x) = 2f(x) + exp(2x) - (1 * \exp(2x) + 2x\exp(2x))\)</math>
<math>\(g'(x) = 2f(x) + exp(2x) - \exp(2x) - 2x\exp(2x)\)</math>
<math>\(g'(x) = 2f(x) - 2x\exp(2x)\)</math>

2g(x) ça donne :
<math>\(2g(x) = 2f(x) - 2h(x)\)</math>
<math>\(2g(x) = 2f(x) - 2x\exp(2x)\)</math>

Bingo !!! g'(x) est bien égal à 2g(x).

Merci beaucoup pour l'aide

Yep, c'est tout à fait ça.