Bonjour à vous
Je post ici car j'ai un petit soucis avec un exercice.
Je dois trouver un équilibre de nash pur ou prouver qu'il n'y en a pas dans ce jeu :
⟨{1, 2}, {Q>0 , Q>0 }, {H1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 − x1 x2 , H2 (x1 , x2 ) = min(1, x1 x2 )}⟩

Pour m'aider on m'a donné quelques indications les voici:

•Remarquez que H1(x1; x2) peut s’écrire (1 − x2)x1 + x2. En déduire que si x2 =/= 1 alors il existe toujours une meilleure réponse x′1 de 1 à (x1; x2) (distinguez les cas : (i) x2 < 1 et (ii) x2 > 1 et montrer pourquoi dans les deux cas (x1; x2) ne peut pas être un équilibre de Nash, à cause du fait que le joueur 1 aurait toujours une meilleure réponse x′1- laquelle, dans chaque cas ?).
•Donc seulement les situations (x1; 1) sont susceptibles d’être des équilibres de Nash. On peut distinguer maintenant des cas par rapport à x1 : (i) x1 < 1 et (ii) x1 ≥ 1. Montrer que le premier cas ne contient pas d’équilibre de Nash(remarquer que 2 aurait dans ce cas une meilleure réponse - laquelle ?). Il reste le dernier cas à traiter...

Le problème et que je ne vois pas du tout par ou commencer. Si quelqu'un pouvait m'aider pour au moins me lancer ça serait gentil.
Merci d'avance.

Citation : steeve62100

⟨{1, 2}, {Q>0 , Q>0 }, {H1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 − x1 x2 , H2 (x1 , x2 ) = min(1, x1 x2 )}⟩

Si tu peux juste nous expliquer en quoi consiste le jeu… Que sont Q, H1, H2, x1 et x2 ?

tout d'abord merci de prendre du temps pour t'intéresser à mon problème.
Pour répondre à ta question, H1(x1,x2) = x1 + x2 - x1x2 est l'action autorisé pour le joueur 1 et donc H2(x1,x2) = mi(1,x1x2) est l'action autorisé pour le joueur 2. Q est l'ensemble d'état. Voilà les seules informations que j'ai quant à cette expression.

Je suis désolé, mais je ne comprends toujours pas la définition de ce jeu…

Qu'est-ce que le {1,2} et que signifie {Q>0, Q>0} ?

de ce que j'ai compris le 1,2 correspond aux joueurs, le joueur 1 et le joueur 2. Q est un l'ensemble des rationnel.

Moi comme je comprends les choses, chaque joueur choisit un nombre entier positif (et pas zéro) (x1 et x2) et les gains sont exprimés par h1 et h2.

Après les indices semblent assez bien te guider...

Cette façon très codifiée de présenter les choses est caractéristique de la théorie des jeux ; il faut juste savoir quoi correspond à quoi (cf Jeu sous forme normale).
Le jeu <math>\((J, S, H)\)</math> est une situation où :

• <math>\(J = \lbrace 1, 2 \rbrace\)</math> est l'ensemble des joueurs : ici, c'est <math>\(\lbrace 1, 2 \rbrace\)</math>, donc il y a deux joueurs nommés 1 et 2 ;
• <math>\(S = \lbrace Q > 0, Q > 0 \rbrace\)</math> est l'ensemble des stratégies des joueurs, c'est-à-dire, en gros, ce que peuvent "jouer" chacun des joueurs. Ici, <math>\(\lbrace Q > 0, Q > 0 \rbrace\)</math> signifie à mon avis <math>\(\lbrace \mathbb{Q}_+^*, \mathbb{Q}_+^* \rbrace\)</math> en maths classiques, c'est-à-dire que chacun des joueurs peut "jouer" un rationnel strictement positif, qu'on appellera <math>\(x_1\)</math> pour le joueur 1 et <math>\(x_2\)</math> pour le joueur 2 ;
• <math>\(H = \lbrace H_1 = x_1 + x_2 - x_1 x_2, H_2 = \min(1, x_1 x_2) \rbrace\)</math> représente le gain (on dit aussi parfois l'utilité) des joueurs, c'est un ensemble de fonctions de <math>\(\mathbb{Q}_+^* \times \mathbb{Q}_+^*\)</math> dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> et chaque joueur essaye simplement de maximiser sa fonction de gain.

Donc pour dire les choses de façon moins formelle, on a deux joueurs (1 et 2), qui choisissent chacun un rationnel. Leur but est de maximiser leur fonction de gain (pour le joueur 1, c'est <math>\(H_1 = x_1 + x_2 - x_1 x_2\)</math> et pour le joueur 2, c'est <math>\(H_2 = min(1, x_1 x_2)\)</math>), et donc ils définissent chacun leur stratégie en ce sens, c'est-à-dire qu'ils décident quel rationnel ils vont choisir, tout en en connaissant la fonction de gain de l'autre joueur et en prévoyant la stratégie de l'autre joueur, c'est-à-dire en prévoyant quel sera le nombre que l'autre joueur choisira.

On cherche à montrer qu'il peut exister un équilibre de Nash, c'est-à-dire une situation où aucun des deux joueurs n'a intérêt à modifier sa stratégie, car car si l'un des deux joueurs choisit un rationnel différent de ce qu'il avait choisit avant, sa fonction de gain sera plus faible qu'avant.

Ceci étant expliqué, j'espère que tu comprends un peu mieux le but de l'exercice maintenant. Les indications que tu as déjà guident pas mal, essaie de les suivre :-) .

Merci à vous deux j'y vois un peu plus clair mis à part avec H1 et H2 , le joueur 1 utilise la fonction H1 et le 2 la fonction H2 ?

C'est bien ça.

très bien je vous remercie vraiment beaucoup je vais faire comme ça.

Enfin, je ne sais pas si j'ai été très clair. Il n'y a pas vraiment la prise en compte de ce que va faire l'autre joueur dans la caractérisation de l'équilibre de Nash, dans le sens où la stratégie <math>\((x_1, x_2)\)</math> sera un équilibre de Nash si quel que soit le joueur (1 ou 2), il n'a pas intérêt à modifier son choix en supposant que l'autre ne le fasse pas.

Plus formellement, <math>\((x_1, x_2)\)</math> est un équilibre de Nash si et seulement si <math>\(\forall x_1', H_1(x_1, x_2) \geq H_1(x_1', x_2)\)</math> (le joueur 1 n'a pas intérêt à choisir autre chose que <math>\(x_1\)</math>, en supposant que le joueur 2 garde <math>\(x_2\)</math> comme choix) et <math>\(\forall x_2', H_2(x_1, x_2) \geq H_2(x_1, x_2')\)</math> (le joueur 2 n'a pas intérêt à choisir autre chose que <math>\(x_2\)</math>, en supposant que le joueur 1 garde <math>\(x_1\)</math> comme choix).

Dans un tel équilibre, personne ne peut augmenter son propre gain en changeant sa stratégie, mais ça ne veut pas dire qu'il n'y a pas d'autre stratégie globale (c'est-à-dire prenant en compte les deux joueurs) qui pourrait augmenter le gain d'un joueur. Juste que pour sa marge d'action à lui, en supposant que rien ne bouge à part lui, aucun des joueurs ne peut augmenter son propre gain.

le problème que j'ai c'est comment prouver que c'est un équilibre de Nash, il faut que le résultat de H1 et H2 soit de même valeur mais comment trouver les valeur x1 et x2 qui feront cette équilibre ? je suis un peu dans le flou :s

Non, il ne faudrait pas forcément que <math>\(H_1\)</math> et <math>\(H_2\)</math> soient de même valeur. Enfin il se trouve que ce sera le cas ici pour les équilibres possibles, mais c'est une coïncidence.

Suis les indications : commence par supposer que les joueurs choisissent <math>\((x_1, x_2)\)</math>, où par exemple, <math>\(x_2 < 1\)</math>. Essaie alors de montrer qu'en changeant sa stratégie, c'est-à-dire en choisissant un bon <math>\(x_1' \neq x_1\)</math>, le joueur 1 pourrait augmenter son gain (c'est-à-dire que <math>\(H_1(x_1', x_2) > H(x_1, x_2)\)</math>). Cela signifie exactement que la situation en question n'est pas un équilibre de Nash, puisque le joueur 1 a intérêt à modifier sa stratégie !

Suppose ensuite que <math>\(x_2 > 1\)</math>, montre encore que le joueur 1 peut trouver un autre choix <math>\(x_1' \neq x_1\)</math> qui augmenterait son gain... et ainsi tu montres que si <math>\((x_1, x_2)\)</math> est un équilibre de Nash, alors forcément <math>\(x_2 = 1\)</math>. Puis tu regardes les valeurs possibles de <math>\(x_1\)</math>, pour voir lesquelles donneraient un équilibre de Nash et lesquelles non.

d'accord j'y vois un peu mieux mais je m'y suis pris différemment, pour l'instant j'ai montré que quel que soi le choix x2 <1 et >1 il y aura toujours une meilleur solution x'1 ce qui prouve donc qu'il ne peut y avoir d'équilibre de Nash car le joueur 1 aura toujours une meilleur solution x'1 et donc maintenant on est dans le dernier cas (x1,1) et il faudrait donc que je trouve une valeur x1 qui ferait un équilibre de Nash.
Est ce que mon raisonnement est bon ?

Ouais, tu pars bien. Ensuite, comme te le proposent tes indications, il faut distinguer <math>\(x_1 < 1\)</math> et <math>\(x_1 \geq 1\)</math>...
Il peut exister plusieurs équilibres de Nash (donc tu peux avoir plein de valeurs possibles pour <math>\(x_1\)</math>...).

Ah, merci Locke ! La donnée du problème est beaucoup plus claire avec tes explications. Je n'avais surtout pas réalisé que <math>\(Q>0\)</math> voulait en fait dire <math>\(\mathbb Q_+^*\)</math>. (On peut d'ailleurs se demander pourquoi le domaine pour chaque nombre ne serait pas plutôt <math>\(\mathbb R_+^*\)</math>.)

Une fois le problème compris, la résolution est en effet très facile, surtout avec la marche à suivre indiquée. Il suffit de la suivre point par point.

j'ai encore une petite question, dans les indications il est dit que pour la situation (x1,1) il faut distinguer x1<1 et x1>=1 mais si la situation est (x1,1) x2 est toujours égal à 1 ? et donc H1 sera toujours équivalent à 0 car (1-1)(x1-x2) = 0 non ?

Non, puisque <math>\(H_1(x_1, x_2) = x_1 + x_2 - x_1 \cdot x_2\)</math>, alors <math>\(H_1(x_1 , 1) = 1~~\forall x_1\)</math>

oui tu as raison. Maintenant dans l'énoncé il est dit tout a la fin que pour la situation (x1,1) et x1<1 il faut montrer qu'il n'y a pas d'équilibre de Nash car 2 aurait une meilleur solution mais min(1,x1x2) sera négatif dans tous les cas ! vu que x2=1 et que x1<1 donc le joueur 2 n'a pas de meilleur solution ? je me trompe ?
voici ce que j'en ai conclu pour la dernière situation : si x1<1 alors h1 = 1 quelques soit la valeur de x1 et h2 = x1. Il n'y a donc aucun équilibre de Nash possible si x1<1
Maintenant si x1>=1 alors H1 = 1 et H2 = 1, il y a donc ici un équilibre de Nash.

Citation : steeve62100

mais min(1,x1x2) sera négatif dans tous les cas !

Pas du tout. Puisque x1 et x2 sont tous les deux positifs par définition, <math>\(\min(1,x_1\cdot x_2) > 0\)</math>.

effectivement le fait que x1,x2 sont supérieur ou égal à 0 m'était sorti de la tête.
Je suis donc d'accord à ce que tu dis, si x1<1 alors il n'y a pas d'équilibre de Nash vu que x2 peut trouver une meilleur solution.
Mais pour ce qui est du cas ou x1>=1 est tu d'accord avec ce que j'ai écris ? il y a bien un équilibre de Nash non ?

Oui, c'est bien ça.

très bien c'est très gentil à toi et à Locke pour m'avoir aidé un grand merci.

Citation : steeve62100

voici ce que j'en ai conclu pour la dernière situation : si x1<1 alors [...] h2 = x1. Il n'y a donc aucun équilibre de Nash possible si x1<1
Maintenant si x1>=1 alors H1 = 1 et H2 = 1, il y a donc ici un équilibre de Nash.

Attends, j'ai l'impression que tu justifies mal tes calculs. Tu dois utiliser la caractérisation formelle de l'équilibre de Nash (je l'ai donnée : <math>\(\lbrace x_1, x_2 \rbrace\)</math> est un équilibre de Nash si et seulement si <math>\(\forall x_1', H_1(x_1, x_2) \geq H_1(x_1', x_2)\)</math>et <math>\(\forall x_2', H_2(x_1, x_2) \geq H_2(x_1, x_2')\)</math>), sinon tu énonces de bonnes idées mais tu ne prouves rien.

Alors, dans le cas où <math>\(x_1 < 1\)</math> et <math>\(x_2 = 1\)</math>, peux-tu me donner un exemple de <math>\(x_2'\)</math> tel que <math>\(H_2(x_1, x_2') > H_2(x_1, 1)\)</math> ?
Et dans le cas où <math>\(x_1 >= 1\)</math> (et toujours <math>\(x_2 = 1\)</math>), pourquoi ni le joueur 1 ni le joueur 2 n'ont d'intérêt particulier à changer leur choix ? La seule remarque que <math>\(H_1 = H_2 = 1\)</math> ne suffit pas.

Si tu peux répondre à ces deux questions, tu as tout compris. Si non, il te manque encore quelque chose...

Par exemple pour x1<1 et x2 = 1 en tenant compte qu'il faut que x1 soit supérieur a 0 et inférieur à 1 donc on va prendre par exemple x1 = 1/8 et x2 = 2 donc min(1,(1/8)*2) donnera 1/4 tandis que si x2 = 1 ça donnera 1/8 et donc H2(x1,x'2)>H2(x1,x2). Jusque là tout va bien (normalement :))
maintenant pour expliquer pourquoi ni 1 ni 2 n'a intérêt à changer je ne vois pas trop comment faire parce que si 2 change sa valeur alors h1 devient inférieur à h2 et donc il aurait tout intérêt à faire se changement. Mais si il change alors 1 pourra lui aussi changer de valeur et faire en sorte de passer devant 2. Tu aurai pas une petite idée pour me permettre d'avancer ? merci d'avance

Bon ça va, tu étais moins loin que ce que je craignais :-) .

Mais tu fais un faux sens : le but n'est pas pour un joueur que son gain soit supérieur à celui de l'autre joueur. Le but pour un joueur est que son gain soit le plus grand possible, peu importe celui des autres joueurs. Le joueur 2 s'en fout complètement de la valeur de <math>\(H_1\)</math>, seule celle de <math>\(H_2\)</math> compte pour lui !
Et pour <math>\(x_1 \geq 1\)</math> et <math>\(x_2 = 1\)</math>, quelle que soit la valeur de <math>\(x_2'\)</math>, <math>\(H_2(x_1, x_2') = \min(1, x_1 x_2') \leq 1 = H_2(x_1, x_2)\)</math> à cause du minimum... donc <math>\(H_2\)</math> n'a pas du tout d'intérêt à changer son choix. Et puisque <math>\(x_2 = 1\)</math>, <math>\(\forall x_1, H_1(x_1, 1) = 1 \leq 1\)</math>, donc le joueur 1 n'a pas d'intérêt particulier à changer son choix (enfin, comme tu l'as remarqué, il peut même choisir n'importe quoi, ça n'a pas d'influence sur son propre gain <math>\(H_1\)</math>).

J'admets ensuite que dans l'absolu, il existe des configurations plus intéressantes pour le joueur 1, mais pour cela il faudrait qu'il force 2 à changer son choix, ce qui ne rentre plus dans le cadre de l'équilibre de Nash (!)(où le joueur 1 ne considère que le gain qu'il pourrait obtenir en plus s'il changeait son choix et si 2 ne changeait rien). C'est assez important ça, l'équilibre de Nash ne correspond pas forcément à un maximum global, ni à un maximum strict d'ailleurs (on le voit bien ici).

Citation : Me Capello

(On peut d'ailleurs se demander pourquoi le domaine pour chaque nombre ne serait pas plutôt <math>\(\mathbb R_+^*\)</math>.)

En réalité, je ne sais pas exactement à quoi correspond ce <math>\(Q > 0\)</math>. Je pense effectivement que c'est plutôt <math>\(\mathbb R_+^*\)</math> (les économistes s'en foutent bien de savoir si on travaille dans <math>\(\mathbb{Q}\)</math> ou <math>\(\mathbb{R}\)</math> d'ailleurs, je suppose) mais comme ça ne change rien et que l'important c'est qu'on soit dans un ensemble de nombres assez décimaux strictement positifs...

d'accord donc c'est bon j'étais juste un peu sorti du cadre de l'équilibre de Nash je vous remercie encore une fois, sans vous je n'y serais pas arrivé.