Bonjour, je cherche a démontrer le résultat suivant : soit an et bn deux suites a termes positifs tel que an <math>\(\sim\)</math> bn (lorsque n tend vers l'infini), et <math>\(\sum an \times x^n et \sum bn \times x^n\)</math>on des rayons de convergence infinie. Montrons que <math>\(\sum an \times x^n \sim \sum bn \times x^n\)</math> lorsque x tend vers l'infini.(je suis très mauvais en latex, donc les sommes vont de quelque part a l'infinie, et pour simplifier, je suppose que quelque part vaut 0).

Mon raisonnement a été le suivant : faire le quotient, et tenter d'utiliser un démonstration similaire a celle pour les équivalents de somme partielle de série divergente. Pour cela, encore faudrait t' il que <math>\(\sum an \times x^n\)</math> par exemple, converge lorsque x tend vers <math>\(+ \infty\)</math> . Les an et bn étant positives, les fonctions sommes sont triviallements croissantes (une dérivé pour s'en convaincre, par exemple) resterait donc a utiliser le théorème de la limite monotone, et donc a montrer, par l'absurde a priori que les fonctions somme ne sont pas majorable. Mais la je bloque, sa parait évident, mais je vois pas trop comment m'y prendre, peut être en montrant que la dérivé ne tend pas vers 0, mais bon, sa me parait bizarre. Si quelqu'un a une idée, je suis preneur ! Merci d'avance

PS : Je suis en PSI, mais si la démonstration demande des théorèmes en dehors du programme, tant pis, c'est le jeu!

C'est surtout faux ... ! Par contre on va bien avoir l'équivalence sur les restes. La démonstration se fait très naturellement en utilisant la définition d'équivalent : on trouve un epsilon etc. Et comme on regarde les restes, et bien le epsilon il est quelconque.

a moins que j'ai oublié de signaler une hypothèse, le résultat est a mon avis vrai, je l'ai trouver dans un livre d'exercice de MP et ils cite sa comme un résultat classique. Evidemment le livre peut se tromper, mais bon...


Edit : j'ai oublié de signaler le plus important : ou sont equivalent, je corrige sa tout de suite

Il faut "quantifier" tout cela (en faisant un quotient, tu t'exposes potentiellement à des divisions par zéro). En d'autres termes, "écris" l'équivalence de <math>\((a_n)\)</math> et de <math>\((b_n)\)</math>, avec des <math>\(\epsilon\)</math>. Tu majores ensuite <math>\(\sum a_n \times x^n\)</math> (avec l'inégalité triangulaire...), tu fais apparaître les <math>\(\epsilon\)</math>. Ensuite, tu obtiens ta première série entière, majorée par un polynôme (je dis bien un polynôme), et la somme d'une série entière. Il reste à montrer que le polynôme est négligeable devant la somme de la série entière, ce qui se fait aussi en quantifiant, et tu obtiendras le résultat. En gros, il faut revenir à la définition de l'équivalence et de la négligeabilité, pour que ta démonstration est un caractère général (d'ailleurs, une des hypothèses sur <math>\((a_n)\)</math> et <math>\((b_n)\)</math> est en trop : il suffit que l'une d'entre elles soit positive, l'autre peut avoir un signe variable.

Il y a certainement d'autres démonstrations, mais celle-ci me paraît la moins exigeante en théorèmes, puisqu'elle part directement des définitions.

Le résultat est, me semble-t-il, vrai : c'est par exemple la première question d'une épreuve de Centrale 1988.

EDIT : en fait, comme <math>\(a_n \sim b_n\)</math>, ces suites ont le même signe à partir d'un certain rang.

Je crois avoir compris, j'étais en faite parti dans une direction débile, il suffisait d'ecrire la difference. Merci beaucoup !

J'ai mal lu l’énoncé, désolé