Bonjour,
c'est mon premier poste sur le forum scientifique (je ne suis actif que sur le forum informatique), mais je rencontre un problème, je suis marocain et donc on étudie les maths e arabe, donc ça va être dur de s'exprimer, et dernière information je suis en 3eme année collège !
Donc comme je sais pas comment dire ça en français je vais parler avec des signes de math !

l'exercice :
nous avons a + b = 1
prouve que ab ≤ 1/4
et a² + b² ≥ 1/2

merci pour votre aide !

P.S : comme je ne connais les termes mathématique en français j'ai mis un titre plus ou moin significative, donc si quelqu'un pouvait me dire par quoi le remplacer !

Bonjour à toi,

les "≤" s'appellent des inégalités en français. ≤ se lit "inférieur à" et l'autre se lite "supérieur à".

Pour ton problème : qu'as tu déjà essayé ? Si tu admets la première (à savoir ab≤ 1/4), la deuxième vient assez facilement (je suppose que tu as déjà vu les identités remarquable ?).

Par contre pour la première, je suis un peu étonné car je ne vois pas de manière accessibles à un collégien et simple qui permette de répondre. Qu'as tu vu en cours depuis le début de l'année ?

Même si cela m'étonnerait, est-ce que vous avez déjà appris à résoudre des équations de la forme <math>\(ax^2+bx+c=0\)</math> ?

Bon, pour la première il faut en fait que tu résoudes <math>\(a ( 1 - a) \leq \frac{1}{4}\)</math>.
Ca revient à dire <math>\(- a^2 + a - \frac{1}{4} \leq 0\)</math>.

Citation : rushia

Même si cela m'étonnerait, est-ce que vois avez déjà appris a résoudre des équations de la forme <math>\(ax^2+bx+c=0\)</math> ?

Si tu sais les résoudre alors l'exercice n'est pas difficile.
Ceci étant, je pense que tu peux le trouver plus rapidement mais j'ai un peu la flemme de chercher.
Pour te donner des pistes :

• tu sais que ton 0<a<1
• tu as donc l'équation juste si a < <math>\(\frac{1}{4}\)</math>
• il faut regarder pour les autres valeur de a

Pour la deuxième, tu as <math>\((a+b)^2 = 1^2\)</math>.
Tu fais ton identité remarquable [<math>\((a+b)^2 = a^2+b^2+2ab\)</math>] et tu trouves la solution facilement.

Ce que je voulais dire avec les équations du second degré, c'est que <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> sont solutions de l'équation <math>\(x^2-(a+b)x+ab = 0\)</math>, c'est-à-dire ici de : <math>\(x^2-x+ab=0\)</math>
et dans ce cas, le discriminant est <math>\(\Delta=1-4ab\)</math> et la condition <math>\(\Delta\geq0\)</math> donne immédiatement l'inégalité attendue.
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Si on ne connais pas cette méthode, je pense qu'on peut faire comme ce qui suit (mais est-ce la méthode attendue ?) :

Première remarque : si un seul des deux nombres <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> est négatif (<0), la second inégalité est vérifié car <math>\(ab\)</math> sera négatif.

Deuxième remarque : <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> ne peuvent pas être tous les deux négatifs (leur somme serait alors obligatoirement négative)

On considère donc uniquement le cas <math>\(a\geq0\)</math> et <math>\(b\geq0\)</math>

On sait que l'on a pour tous nombres réels <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> la relation suivante : <math>\(0\leq(x-y)^2=x^2+y^2-2xy\)</math>, qu'on peut réécrire <math>\(xy\leq\frac{x^2+y^2}{2}\)</math>
En prenant <math>\(x=\sqrt{a}\)</math> et <math>\(y=\sqrt{b}\)</math> (puisqu'on considère <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> positifs), on tombe sur <math>\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\leq\frac{\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2}{2}=\frac{a+b}{2}\)</math>
En élevant tout au carré, on arrive alors à <math>\(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)</math>, c'est gagné.

Sinon, tu regardes simplement : <math>\({\left({a - \frac 1 2}\right)}^2 \geq 0\)</math>

En développant, on trouve <math>\(a^2-a+\frac 1 4 \geq 0\)</math> qui conclut.