Bonjour,

je suis actuellement en DUT informatique et venant de STG, j'ai pas mal de difficultés en maths.
Actuellement, on voit comment étudier les propriétés des relations binaires et je dois dire que je suis un peu largué .

Donc j'aimerai avoir quelques explications sur comment faire pour savoir si une relation est réflexive, irréflexive, symétrique, antisymétrique et transitive.

On a par exemple :

Citation

x R y si et seulement si xy=1 dans R

Il s'agit d'une question d'un exercice qu'on a déjà fait en cours donc j'ai les réponses mais j'ai du mal à comprendre comment on les trouve.

J'ai tout de même compris(à priori) certaines choses (toujours par rapport à l'exemple) :

• -réflexif : non car 2 n'est pas en relation avec 2; => je suppose donc que c'est parce que 2 * 2 n'est pas égal à 1 ?
• -irréflexif : non car 1 est en relation avec 1; => 1 * 1 = 1, je suppose que c'est pour cela ?
• -...et ensuite, ben j'aurai besoin d'explications

Donc, pour résumer, je voudrais savoir déjà si mon raisonnement est correct pour dire si c'est réflexif et irréflexif et ensuite, j'aimerai avoir des explications pour le reste.

Un grand merci d'avance .

Citation : zipang

Citation

x R y si et seulement si xy=1 dans R

Bonjour, je reformule juste ton énoncé en latex:

Citation :

Pour <math>\(x,y\in \mathbb{R}\)</math>, <math>\(x \mathcal{R} y\)</math> ssi <math>\(xy=1\)</math>

c'est bien ça ?

Pour la réflexivité et l'irréflexivité, les contre-exemples que tu donnes sont tout à fait justes.

Ensuite, pour la symétrie, l'antisymétrie, et la transitivité, tu pars simplement des définitions:

la relation <math>\(\mathcal{R}\)</math> est symétrique si pour tout <math>\(x,y \in \mathbb{R}\)</math>, <math>\(x \mathcal{R}y \Rightarrow y \mathcal{R}x\)</math>

Tu démarres donc ton raisonnement ainsi:

Soit <math>\(x,y \in \mathbb{R}\)</math> tels que <math>\(x \mathcal{R} y\)</math>. Alors <math>\(xy=1\)</math>.

Tu regardes ce que signifie la conclusion, c'est à dire <math>\(y \mathcal{R} x\)</math> et tu vois comment tu peux arriver à cette conclusion à partir des hypothèses que tu as formulées. Si tu ne vois aucun moyen, tu cherches un contre-exemple comme ce que tu as fait pour la réflexivité.

Mais pour ce cas et la symétrie, la route des hypothèses au résultat se fait toute seule grâce à la commutativité de la multiplication dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> (je sais, ça fait pédant... ).

Ensuite pour les deux autres, tu répètes le même schéma de raisonnement.

Oui c'est bien ça. Merci pour ta réponse, je pense que cela va m'aider.

Je vais te donner ici quelques lois que tu connais très bien, et t'en donner leurs propriétés et pourquoi

Commençons par la relation d'ordre <math>\(\leq\)</math>.
Il est évident (enfin j'espère) que pour tout réel <math>\(x\)</math>, on a <math>\(x\leq x\)</math>... En effet, l'inégalité étant large, et comme <math>\(x=x\)</math>, on a bien <math>\(x\leq x\)</math>...
Par définition de la réflexivité, on dit que <math>\(\leq\)</math>est reflexive.

De plus, si <math>\(x\leq y \mbox{ et } y \leq z\)</math>, on a bien <math>\(x \leq z\)</math>... Donc ici, on dit que la relation <math>\(\leq\)</math> est transitive ! Je te laisse tester avec des nombres à la place des lettres pour t'en assurer

Par contre, si <math>\(x \leq y\)</math>, est-ce qu'on a toujours <math>\(y \leq x\)</math> ?
Non, biensûr, il suffit de choisir <math>\(x \neq y\)</math> pour s'en convaincre Ainsi, on dira que <math>\(\leq\)</math> n'est pas symétrique

Ainsi, <math>\(\leq\)</math> est transitive, réflexive, mais n'est pas symétrique.



Intéressons nous maintenant à la relation <math>\(<\)</math> !
Pour la réflexivité : est-ce que <math>\(x < x\)</math> ?

Pour la transitivité, est-ce que <math>\(x < y \mbox{ et } y < z \Rightarrow x < z\)</math> ?

Passons maintenant à la symétrie :
Est-ce que <math>\(x < y \Rightarrow y < x\)</math> ?




Maintenant "en exercice", je te laisse étudier les propriétés de <math>\(=\)</math> et <math>\(\neq\)</math> et nous donner ta réponse après y avoir réfléchi







Toutes ces lois sont utilisées au quotidien et offrent de bons exemples de symétrie/réflexivité/transitivité !

Cependant, si tu étudies ces notions, c'est parce qu'il existe une infinité de lois, et que le jour où se présentera à toi une loi que tu ne connais pas, il sera intéressant d'étudier ces propriétés élémentaires : la réflexivité, la transitivité, et la symétrie !












Pour la culture, sache qu'il existe d'autres notions pour d'autres types de lois, par exemple la commutativité ! On dit qu'une loi <math>\(*\)</math> est commutative si et seulement si <math>\(x * y = y * x\)</math>... C'est le cas de l'addition, de la multiplication, mais pas de la soustraction...
En mathématiques, tu auras peut être l'occasion d'utiliser les matrices et le produit matriciel, qui n'est pas commutatif, par exemple



Bien à toi
Doulilos

Tout d'abord, merci pour ta réponse qui m'a bien aidé à comprendre (enfin je crois ).

Donc voici mes réponses pour le petit exercice que tu m'as posé :

Pour la relation = :

• réflexibilité : Si on prend x = 2, on peut dire que 2 = 2 donc oui, c'est réflexible
• transitivité : x = y et y = z donc x = z donc oui, c'est transitif
• symétrie : si on prend x = 3 et y = 4, on ne peut pas dire 3 = 4 ou 4 = 3 donc ce n'est pas symétrique

Pour la relation <math>\(\neq\)</math> :

• réflexibilité : si on prend x = 2, on ne peut pas dire que 2 <math>\(\neq\)</math> 2 donc ce n'est pas réflexible
• transitivité : x <math>\(\neq\)</math> y et y <math>\(\neq\)</math> z, donc si on prend, x = 2, y = 3 et z = 2, x = z donc non, ce n'est pas transitif
• symétrie : si, on prend x = 3 et y = 4, on peut dire 3 <math>\(\neq\)</math> 4 et 4 <math>\(\neq\)</math> 3 donc c'est symétrique.

Voilà, j'espère ne pas avoir mis trop de bêtises .

Pour la réfléxivité du égal, les démonstrations doivent se faire directement avec des variables comme <math>\(x\)</math>, <math>\(y\)</math>, <math>\(z\)</math>,... et non des exemples numériques.

Pourquoi ? Il est possible de démontrer qu'une relation est fausse par un contre-exemple. Si ça ne marche pas une fois, on peut en conclure que la relation n'est pas toujours vraie. Mais on ne peut pas démontrer qu'une propriété est vrai à partir d'un seul exemple, elle doit se vérifier dans le cas général (en utilisant les variables).

Enfin bon pour l'égalité / inégalité, démontrer pour de vrai ces propriétés demande de se poser des questions un peu trop théorique ; ce que tu peux faire de mieux, c'est donner des contre-exemples lorsque ce n'est pas vrai (comme ce que tu as très bien fait pour la non-transitivité et la non reflexivité de <math>\(\ne\)</math>). Dans le cas général, la "démonstration" de ces propriétés consisterait juste à écrire la définition de ces propriétés...

Concrètement, pour montrer la réflexivité de la relation <math>\(=\)</math>, effectivement, prendre 2=2, n'est pas bon car il faut traiter tous les cas. Ce qu'il faut se poser comme question "est ce que x=x quelquesoit x que je prenne ?"... Je pense que la réponse peut être considérée comme vraie sans plus de justification :p.

Pour la symétrie, non ce n'est pas bon. La question à se poser est "si j'ai x=y, est-ce que j'ai y=x ?". Encore une fois, la réponse est oui !

Pour résumer, si tu veux montrer qu'une relation R est réflexive tu te poses comme question : "est-ce que x R x ?".

Pour la transitivité :"est ce que si xRy et yRz, alors j'ai xRz ?".

Et pour répondre à ça, tu traduis ce que veut dire "xRy" "yRz" et tu vois si tu peux arriver à ce que veut dire "xRz".

Arrives-tu maintenant à répondre à ta question du début ?

@Doulilos : on parle de relations ici, pas de lois !