Bonjour à tous.
Voici un petit problème mathématique portant sur les vecteurs et la colinéarité du programme de 1ère S, ou j'ai quelques soucis de résolution.

Soit ABC un triangle et x un réel. A chaque valeur de x on associe les points E et F tels que:
AE = 1/3 AB + x AC et AF = x AB + 1/3 AC (les valeurs AE, AB, AC, et AF sont des vecteurs)

1. Montrer que pour tout réel x différent de 1/3, (EF) // (BC)
a) en utilisant le calcul vectoriel
b) en utilisant un repère (A, B, C)

2. Pour quelles valeurs de x a t'on
a) E = F
b) BCFE un parallélogramme

Merci de votre aide

Bonsoir,

Tu ne dis pas du tout ce que tu as tenté, ce qui est attendu pour une aide de devoir.

Je te donne néanmoins une indication

Combine tes deux relations pour obtenir <math>\(\vec{EF}\)</math>, en ayant en tête les additions et soustractions de vecteurs.
Tu verras alors que <math>\(\vec{EF}\)</math> peut s'exprimer en fonction de <math>\(\vec {BC}\)</math>
uniquement
Lorsque tu auras obtenu cette relation, les questions 2 a) et 2 b) deviennent évidentes.

Sujet résolu?

A les joies des DM de maths en 1erS ... Déjà deux au compteur et je sature déjà .

Oula, j'ai complètement oublié de mettre ma résolution, qui était bloquée à un certain point mais (je pense ?) résolue.

Voici pour le 1a. (Les valeurs sont toutes des vecteurs)
EF = AE + AF
EF = 1/3 AB + x AC + x AB + 1/3 AC
EF = 1/3 (AB + AC) + x (AB + AC)
EF = 1/3 BC + x BC

EF et BC sont donc colinéaires.
<==> (EF) // (BC)

Je vous propose en fin de soirée la suite de mes résolutions.

Bonsoir
Il y a une erreur de signe dans ton résultat. Cela ne change pas la preuve de parallélisme mais va te donner un résultat faux en 2.

L'erreur est au départ quand tu calcule <math>\(\vec{EF}\)</math>
Ce sont des vecteurs , le sens est important!
Donc <math>\(\vec{EF} = \vec{EA}+\vec{AF} = \vec{AF}-\vec{AE}\)</math>

Ca revient à faire je crois:
EF = - x BC - 1/3 BC

EDIT : La suite !

Bon sinon, pas de problème particulier concernant la suite.
Pour le 1b, j'ai utilisé les points du repère et le critère de colinéarité pour montrer que xy' - x'y = 0 ce qui était bon.

Pour le 2a, c'est x = 1/3 car
AE = 1/3 AB + 1/3 AC = AF !

Pour le 2b je trouve x = 4/3
BCFE est un parallélogramme si EF = BC
EF = xBC - 1/3 BC
<=> EF = 4/3 BC - 1/3 BC
<=> EF = BC

Voilou en résumé l'exercice !

Merci pour l'aide !