1- J'ai fait une récurrence ici:
Sachant que <math>\(u_0 > 0\)</math> et <math>\(v_0 > 0\)</math>, la proposition est vraie pour <math>\(n=0\)</math>
Ensuite, on fixe un <math>\(n\)</math> pour lequel la proposition est vérifié et on a:
<math>\(u_{n+1} = v_n > 0\)</math> par hypothèse de récurrence et de même pour <math>\(v_{n+1}\)</math>, donc, le principe de récurrence permet d'affirmer que:
<math>\(\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 0 \quad \mathrm{et}\quad v_n > 0\)</math>

2- <math>\(A_{n+1} = u_{n+1} \cdot v_{n+1} = v_n\frac{u_n}{2} = \frac{A_n}{2}\)</math>

<math>\((A_n)\)</math> est une suite géométrique de raison <math>\(\frac{1}{2}\)</math> et de premier élément <math>\(u_0v_0\)</math>

3- On observe que <math>\(k_{n+1} = \frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \frac{v_n}{\frac{u_n}{2}} = \frac{2v_n}{u_n} = \frac{2}{k_n}\)</math>
Donc on a <math>\(k_{n+2} = k_n\)</math>
Et donc : <math>\(k_{2n} = k_0\)</math> et <math>\(k_{2n+1} = \frac{2}{k_0}\)</math> pour tout <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math>
La suite alterne seulement entre deux valeurs donc, pour que la suite soit constante, il faut et il suffit que ces deux valeurs soient égales:
<math>\(k_0 = \frac{2}{k_0} \Leftrightarrow k_0^2 = 2\)</math>

Puisque <math>\(k_0\)</math> est un quotient de nombres positifs, on a:

<math>\(k_0^2 = 2 \Leftrightarrow k_0 = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{u_0}{v_0} = \sqrt{2}\)</math>

4- On a :
<math>\(\{ \begin{array}{4} A_0 = 1 \\ k_0 = \sqrt{2} \\\end{array} \leftrightarrow \{ \begin{array}{4} u_0 \cdot v_0 = 1 \\ \frac{u_0}{v_0} = \sqrt{2} \\\end{array} \leftrightarrow \{ \begin{array}{4} u_0 \cdot v_0 = 1 \\ u_0 = v_0\sqrt{2} \\\end{array}\)</math>
<math>\(\{ \begin{array}{4} v_0^2\sqrt{2} = 1 \\ u_0 = v_0\sqrt{2} \\\end{array} \leftrightarrow \{ \begin{array}{4} v_0 = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ u_0 = v_0\sqrt{2} \\\end{array} \leftrightarrow \{ \begin{array}{4} v_0 = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ u_0 = \sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2} \\\end{array}\)</math>

5- On a <math>\(k_4=k_0=\sqrt{2}\)</math> et <math>\(A_4=\frac{A_0}{2^4}\)</math>
Donc:
<math>\(\{ \begin{array}{4} u_4 \cdot v_4 = \frac{1}{16} \\ \frac{u_4}{v_4} = \sqrt{2} \\\end{array} \leftrightarrow \{ \begin{array}{4} u_4\cdot v_4 = \frac{1}{16} \\ v_4 = \frac{u_4}{\sqrt{2}} \\\end{array} \leftrightarrow \{ \begin{array}{4} u_4^2 = \frac{\sqrt{2}}{16} \\ v_4 = \frac{u_4}{\sqrt{2}} \\\end{array}\)</math>

<math>\(\{ \begin{array}{4} u_4 = \frac{\sqrt[4]{2}}{4} \\ v_4 = \frac{u_4}{\sqrt{2}} \\\end{array}\leftrightarrow \{ \begin{array}{4} u_4 = \frac{\sqrt[4]{2}}{4} \\ v_4 = \frac{\sqrt[4]{2}}{4\sqrt{2}} \\\end{array} \leftrightarrow \{ \begin{array}{4} u_4 \approx 0.297 \\ v_4 \approx 0.210 \\\end{array}\)</math>

A4 = 21 X 29.7

Afin d'avoir un standard internationnal, on desire creer une suite de format coherant pour nos feuille de papier.
On veut que ce standard soit super cool pour que tout le monde l'utilise (a part les americains evidement). Il serait donc de bon ton que ce format soit pratique et facile a mettre en oeuvre. On voudrait notament qu'il possede les proprietes suivantes:

- Le format A0 fait 1m²
- Les proportions sont gardes quelque soit le format An
- Pour passer du format An au format suivant An+1, il suffit de plier sa feuille en 2.

Montrer que A4 = 21cm * 29.7cm