Bonsoir,
Aujourd'hui j'ai découvert une nouvelle expression de l'intensité; moche comme tout.
<math>\(\frac{dQ}{dt} = \int \int nq\,d\vec{S}.\vec{v}\)</math> (nombre de charges par unité de volume et q : charge en coulomb)
Je veux bien comprendre une intégrale : On fait la somme de contributions en charges de chaque volume <math>\(d\tau = d\vec{S}.\vec{v}\,dt\)</math> : Pour moi ça serait <math>\(dQ = \int d\tau\,nq\)</math>
Mais pourquoi deux? Pourquoi être si bourrin?
Merci de m'éclairer

En fait, c'est très bête : quand on écrit <math>\(d\vec{S}\)</math>, ça correspond en fait à un <math>\(d^2\vec{S}\)</math>. En effet, <math>\(d\vec{S}\)</math> correspond à une petite surface infinitésimale. Par exemple, en coordonnées cartésiennes, on peut écrire <math>\(d^2\vec{S} = d\vec{x} d\vec{y}\)</math>.

Donc tu vois que pour intégrer sur tous les <math>\(d\vec{S}\)</math> possibles, il faut intégrer à la fois sur les x, mais aussi sur les y.


Dans un autre système de coordonnées, ça restera valable, il faudra intégrer par exemple sur r mais aussi sur <math>\(\theta\)</math> ou <math>\(\phi\)</math>.

D'une façon générale, une intégrale simple te permet d'intégrer sur les variations d'une seule coordonnée, les intégrales doubles intègrent sur une surface, les intégrales triples sur un volume...

T'as pas une petite "démo" enfin un petit quelque chose pour m'expliquer pourquoi on met une intégrale double sur deux coordonnées. J'ai trouvé un truc sur wikiversité mais je saisis pas trop...
De même, <math>\(d^2\)</math> la différentielle d'ordre deux ça signifie quoi "mathématiquement", enfin concrètement quoi.

La différentielle d'ordre deux, j'aurais du mal à expliquer simplement sans rentrer dans des maths que j'ai en grande partie oubliées, peut-être que quelqu'un d'autre sur ce forum y arrivera mieux, mais en gros, d'un point de vue «physicien» c'est surtout un bon moyen de se souvenir que tu n'as pas le droit de faire tout ce que tu veux comme avec une différentielle du premier ordre

Un exemple simple : tu veux calculer la surface d'un rectangle de côtés a et b :

<math>\(S = \int\int dx dy = \int_x\int_y dx dy = \int_{x=0}^{x=a}dx \int_{y=0}^{y=b}dy = a\times b\)</math>

Pour compliquer un peu et voir l'intérêt d'utiliser des intégrales, on peut faire la même chose pour une demi-sphère de rayon R, décrite en coordonnées sphériques avec une colatitude <math>\(\theta\)</math> et une longitude <math>\(\phi\)</math> :

<math>\(S = \int\int dS = \int_{\theta}\int_{\phi} R^2 sin(\theta ) d\theta d\phi = R^2 \int_{\theta=0}^{\theta=\pi}sin(\theta )d\theta \int_{\phi=0}^{\phi=\pi}d\phi = \pi R^2 \left[ -cos(\theta ) \right]_0^\pi = 2 \pi R^2\)</math>

Bonjour,

quelques précisions complémentaires

Normalement , si tu rencontres ces notions, c'est que tu dois savoir que l'intensité du courant à travers une surface <math>\(S\)</math> correspond au flux des charges mobiles à travers cette surface . <math>\(nq\vec{v}\)</math> est la densité de courant usuellement noté <math>\(\vec{j}\)</math> .
Le flux à travers la surface élémentaire <math>\(dS\)</math>, c'est <math>\(\vec{j}.\vec{dS}\)</math>
Et pour avoir le flux total , il faut bien intégrer sur toute la surface <math>\(S\)</math>, donc on est confronté nécessairement à une intégrale double (...dés que l'on rencontre un flux, dans n'importe quel domaine de la physique)

La fin de ton post montre une certaine confusion sur les différentielles conduisant à une "simplification" illusoire..
Lorsque tu dis <math>\(d\tau= \vec{dS}.\vec{v}dt\)</math>, ce n'est pas faux,...à condition de bien voir de quel élément de volume on parle.
Lorsque tu enchaînes en disant <math>\(\int d\tau nq\)</math>,en pensant faire un calcul plus simple cette intégrale simple n'a aucun sens
- si tu intégrais sur un volume, l' intégrale serait alors triple <math>\(\int\int\int\)</math>,..et tu obtiens la chage contenu dans un volume macroscopique V.
- si tu veux l'intensité , donc le flux à travers S, alors le volume élémentaire n'est pas une differentielle totale mais le volume <math>\(\delta \tau\)</math> est lié à la surface <math>\(S\)</math>.
Tu dois alors écrire <math>\(\delta \tau= \vec{dS}.\vec{v}\delta t\)</math>,soit <math>\(nq\delta \tau= nq\vec{dS}.\vec{v}\delta t\)</math> .
<math>\(nq\delta \tau\)</math> est bien la charge <math>\(\delta Q\)</math> qui traverse la surface élémentaire pendant le temps <math>\(\delta t\)</math>, l'intensité élémentaire vaut donc <math>\(nq\vec{dS}.\vec{v}\)</math>
L'intensité totale est donc obtenue par intégration sur toute la surface, et ce que tu pensais être une façon plus simple de voir les choses n'est autre que l'expression initiale, si on l'exprime correctement .

Si j'intègre une seule fois mon expression, soit <math>\(\int nq\,d\vec{S}.\vec{v}\)</math> ça correspond à quoi?

Ca ne correspond à rien. dS est égal à dxdy donc tu es obligé d'intégrer deux fois.
<math>\(\int dxdy\)</math>, ca ne veut rien dire. Relis les explications plus haut.