Bonjour,

Dans mon cours de Physique, il y a un passage auquel je n'ai rien compris, c'est la passage sur l'expression mathématique de la décroissance radioactive. Le principal ennui est que le cours fait appel à des notations (pour les dérivées), et carrément à des notions (équations différentielles) que je n'ai jamais vues, d’où ma confusion.

Citation

Nous cherchons l’expression du nombre de noyaux radioactifs au cours du temps, N(t).

Choisissons de noter N0 le nombre initial de noyaux présents à l’instant t=0, et ΔN la variation du nombre de noyaux (c’est une grandeur négative, puisque le nombre de noyaux radioactifs diminue au cours du temps) pendant une durée Δt.

Remarquons encore que plus il y a de noyaux radioactifs, plus le nombre de noyaux qui se désintègrent est important : ainsi (–ΔN) est proportionnel à N. Nous écrivons alors, en introduisant la constante de proportionnalité λ :

<math>\(\Delta N = - \lambda \cdot N(t) \cdot \Delta t\)</math>

Nous sommes tout près d’obtenir une équation différentielle, faisant intervenir le nombre de noyaux N(t) et sa dérivée par rapport au temps, dN / dt. En effet si l’on prend un intervalle de temps Δt suffisamment petit, <math>\(\frac{dN}{dt} = - \lambda N\)</math>

La résolution de cette équation différentielle n’est pas au programme. Nous allons nous vérifier qu’une équation de la forme <math>\(N(t) = K \cdot e^{- \lambda t}\)</math> est solution de l’équation différentielle, et nous allons déterminer la valeur de la constante K.

Pour vérifier l’équation différentielle, il nous faut dériver l’expression proposée : [...] : nous retrouvons bien l’équation qu’il fallait démontrer, l’équation proposée est bien solution.

Pour trouver la valeur de la constante K, souvenons-nous qu’on a choisi la condition initiale N(0) = N0 donc finalement :

<math>\(N(t) = N_{0} e^{- \lambda t}\)</math>

J'avoue n'avoir absolument rien compris, ni la démonstration, ni la formule finale, aussi je fais appel à votre aide pour essayer de comprendre :

• Cette histoire de <math>\(\Delta N\)</math> comme variation du nombre de noyaux.
• Constante de proportionnalité <math>\(\lambda\)</math> (que l'on retrouve dans la formule finale, c'est quoi au juste ?)
• Comment on trouve que la dérivée de N(t) est dN / dt ?
• C'est quoi e ?
• Comment on retrouve que K est en fait N0 ?

Bref, vous avez bien compris, je suis totalement perdu...

Un grand merci à tous ceux qui voudront bien m'aider.

Citation : yoch

Cette histoire de <math>\(\Delta N\)</math> comme variation du nombre de noyaux.

<math>\(\Delta N = N(t+\Delta t) - N(t)\)</math> est la différence de noyaux entre le temps <math>\(t\)</math> et le temps <math>\(t+\Delta t\)</math> (donc au cours de la durée <math>\(\Delta t\)</math>). C'est bien une variation du nombre de noyaux.

Citation : yoch

Constante de proportionnalité <math>\(\lambda\)</math> (que l'on retrouve dans la formule finale, c'est quoi au juste ?)

Tous les noyaux ne se désintègrent pas à la même vitesse. Suivant le type de noyaux, un échantillon peut rester très radioactif des milliers d'années ou quelques minutes. Cette information sera contenue dans ce paramètre <math>\(\lambda\)</math>.

Citation : yoch

Comment on trouve que la dérivée de N(t) est dN / dt ?

C'est une notation équivalente à <math>\(N'(t)\)</math> mais beaucoup plus utilisée en physique. Grosso modo, on peut lire ça de deux façons : l'opération <math>\(\frac{d}{dt}\)</math> (dérivée par rapport à la variable t) appliquée à <math>\(N(t)\)</math>, ou l'élément différentiel <math>\(dN\)</math> sur l'élément différentiel <math>\(dt\)</math>, donc la variation infinitésimale du nombre de noyaux au cours d'une durée infinitésimale divisé par cette durée infinitésimale. Ça se voit très bien géométriquement et dans la formule du taux d'accroissement. Il y a une justification dimensionnelle à ça aussi : <math>\(\frac{dN}{dt}\)</math> a une dimension de temps^-1, ce que l'on voit directement en l'écrivant de cette manière (<math>\(dN\)</math> sans dimension, <math>\(dt\)</math> au dénominateur a une dimension de temps). C'est comme pour <math>\(v = \frac{dx}{dt}\)</math>, la vitesse c'est une longueur sur un temps et là ça se voit immédiatement.

Citation : yoch

C'est quoi e ?

<math>\(e = e^1 = \exp(1)\)</math> c'est la base de l'exponentielle ou le nombre de Neper.

Citation : yoch

Comment on retrouve que K est en fait N0 ?

On a <math>\(N(t) = K e^{-\lambda t}\)</math>. On note <math>\(N_0\)</math> le nombre de noyaux à un temps que l'on définit comme le temps 0 (c'est par exemple le temps auquel on commence à prendre des mesures).
On sait que <math>\(N_0 = N(t=0)\)</math>.
Or, <math>\(N(t=0) = K e^{-\lambda \cdot 0} = K \cdot 1 = K\)</math>.
Donc <math>\(N_0 = K\)</math>.

C'est normal que tout cela soit confus car tu n'as pas encore le niveau mathematique pour bien comprendre.
En fait tout ce que tu peux faire c'est verifier la validite de l'equation dans l'equation differentielle.
<math>\(N(t) = N_{0} e^{- \lambda t}\)</math>
En derivant N par t:
<math>\(\frac{N(t)}{dt} = -N_{0} \lambda e^{- \lambda t}\)</math>

l'equadiff est bien verifiee
<math>\(\frac{dN}{dt} = - \lambda N\)</math>

Mille mercis tous les deux, une partie du brouillard s'est déjà dissipé grâce à vous...

Citation : Elentar

<math>\(\Delta N = N(t+\Delta t) - N(t)\)</math> est la différence de noyaux entre le temps <math>\(t\)</math> et le temps <math>\(t+\Delta t\)</math> (donc au cours de la durée <math>\(\Delta t\)</math>). C'est bien une variation du nombre de noyaux.

Attends, je crois que je viens de comprendre : <math>\(\Delta N\)</math> est une seule et même variable (variable qui désigne un résultat, comme tu l'expliques), tout comme <math>\(\Delta t\)</math>. C'est bien ça ?

Citation : Elentar

Tous les noyaux ne se désintègrent pas à la même vitesse. Suivant le type de noyaux, un échantillon peut rester très radioactif des milliers d'années ou quelques minutes. Cette information sera contenue dans ce paramètre <math>\(\lambda\)</math>.

Contenue de quelle manière ? Plus précisément, quel est le rapport entre <math>\(T_{1 / 2}\)</math> (temps de demie vie) et <math>\(\lambda\)</math> ?

Il y a plus grave, je ne comprends toujours pas (malgré tes supers explication) la formule de base : <math>\(\Delta N = - \lambda \cdot N(t) \cdot \Delta t\)</math>.

Citation : Elentar

C'est une notation équivalente à <math>\(N'(t)\)</math> mais beaucoup plus utilisée en physique. Grosso modo, on peut lire ça de deux façons : l'opération <math>\(\frac{d}{dt}\)</math> (dérivée par rapport à la variable t) appliquée à <math>\(N(t)\)</math>, ou l'élément différentiel <math>\(dN\)</math> sur l'élément différentiel <math>\(dt\)</math>, donc la variation infinitésimale du nombre de noyaux au cours d'une durée infinitésimale divisé par cette durée infinitésimale. Ça se voit très bien géométriquement et dans la formule du taux d'accroissement. Il y a une justification dimensionnelle à ça aussi : <math>\(\frac{dN}{dt}\)</math> a une dimension de temps^-1, ce que l'on voit directement en l'écrivant de cette manière (<math>\(dN\)</math> sans dimension, <math>\(dt\)</math> au dénominateur a une dimension de temps). C'est comme pour <math>\(v = \frac{dx}{dt}\)</math>, la vitesse c'est une longueur sur un temps et là ça se voit immédiatement.

Bon, je ne comprends que partiellement ton explication. Pour reprendre l'exemple de la vitesse, à mon niveau c'est <math>\(v = \frac{d}{t}\)</math>, qu'est ce que les dérivées viennent faire là dedans ?

Citation : Elentar

<math>\(e = e^1 = \exp(1)\)</math> c'est la base de l'exponentielle ou le nombre de Neper.

OK, donc pour l'instant, je ne suis pas censé comprendre comment il est arrivé ici, c'est ça ?

Citation : Elentar

On a <math>\(N(t) = K e^{-\lambda t}\)</math>. On note <math>\(N_0\)</math> le nombre de noyaux à un temps que l'on définit comme le temps 0 (c'est par exemple le temps auquel on commence à prendre des mesures).
On sait que <math>\(N_0 = N(t=0)\)</math>.
Or, <math>\(N(t=0) = K e^{-\lambda \cdot 0} = K \cdot 1 = K\)</math>.
Donc <math>\(N_0 = K\)</math>.

Merci, c'est très clair !

Pour répondre à ta question sur le lien entre <math>\(\lambda\)</math> et le temps de demi vie.
On a <math>\(N(T_{1/2})=\frac{N_0}{2}\)</math> par définition du temps de demi-vie.
Par ailleurs, comme on a <math>\(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\)</math>, on a <math>\(N(T_{1/2}) = N_0e^{-\lambda T_{1/2}}\)</math>.
On en déduit donc <math>\(N_0e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{N_0}{2}\)</math> qui conduit à <math>\(e^{\lambda T_{1/2}}=2\)</math> qui donne (et la tu vas devoir me faire confiance pendant encore un peu de temps) <math>\(T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}\)</math> (<math>\(\ln\)</math> est la fonction logarithme népérien, qui est la fonction réciproque de l'exponentielle, autrement dit, <math>\(\ln(e^x)=x\)</math>)


Pour ton interrogation sur la formule de départ <math>\(\Delta N = - \lambda \cdot N(t) \cdot \Delta t\)</math>, elle n'est valable que pour de très petites valeurs de <math>\(\Delta t\)</math>, elle n'est bien sur pas valable quelque soit l'intervalle de temps considéré.
Par contre, tu remarqueras qu'avec ton tableau, si tu ne considères que des intervalles de temps égaux (par exemple <math>\(\Delta t=5\)</math>), tu constateras que tu trouves alors toujours un lambda constant égal à <math>\(0,2\)</math> (en regardant tous les 5 ; si tu regarde tous les 10 tu tombes tu <math>\(0,3\)</math>) mais qui n'est pas tout à fait le vrai <math>\(\lambda\)</math> (qui vaut approximativement <math>\(0,14\)</math>)

Merci de m’éclairer.

Citation : rushia

Pour répondre à ta question sur le lien entre <math>\(\lambda\)</math> et le temps de demi vie.
On a <math>\(N(T_{1/2})=\frac{N_0}{2}\)</math> par définition du temps de demi-vie.
Par ailleurs, comme on a <math>\(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\)</math>, on a <math>\(N(T_{1/2}) = N_0e^{-\lambda T_{1/2}}\)</math>.
On en déduit donc <math>\(N_0e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{N_0}{2}\)</math> qui conduit à <math>\(e^{\lambda T_{1/2}}=2\)</math> qui donne (et la tu vas devoir me faire confiance pendant encore un peu de temps) <math>\(T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}\)</math> (<math>\(\ln\)</math> est la fonction logarithme népérien, qui est la fonction réciproque de l'exponentielle, autrement dit, <math>\(\ln(e^x)=x\)</math>)

Ah, donc en fait réciproquement <math>\(\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}\)</math>.
Mais concrètement, <math>\(\lambda\)</math> ça représente quoi ? Et pourquoi n'utilise on pas directement <math>\(T_{1/2}\)</math> dans le calcul ?

Citation : rushia

Pour ton interrogation sur la formule de départ <math>\(\Delta N = - \lambda \cdot N(t) \cdot \Delta t\)</math>, elle n'est valable que pour de très petites valeurs de <math>\(\Delta t\)</math>, elle n'est bien sur pas valable quelque soit l'intervalle de temps considéré.
Par contre, tu remarqueras qu'avec ton tableau, si tu ne considères que des intervalles de temps égaux (par exemple <math>\(\Delta t=5\)</math>), tu constateras que tu trouves alors toujours un lambda constant égal à <math>\(0,2\)</math> (en regardant tous les 5 ; si tu regarde tous les 10 tu tombes tu <math>\(0,3\)</math>) mais qui n'est pas tout à fait le vrai <math>\(\lambda\)</math> (qui vaut approximativement <math>\(0,14\)</math>)

OK, merci beaucoup !

On utilise <math>\(\lambda\)</math> parce que ça évite de trimbaler une constante dans l'exponentielle, j'imagine que c'est aussi parce que c'est la donnée que l'on doit pouvoir trouver le plus facilement : pas facile de mesurer expérimentalement un temps de demi-vie de plusieurs millier d'années.

Après, j'ai presque envie de dire que c'est une affaire de convention, on pourrait très bien imaginer écrire la formule sous la forme suivante (totalement équivalente à celle de ton cours :
<math>\(N(t) = N_02^{\frac{t}{T_{1/2}}}\)</math>

Citation : rushia

On utilise <math>\(\lambda\)</math> parce que ça évite de trimbaler une constante dans l'exponentielle, j'imagine que c'est aussi parce que c'est la donnée que l'on doit pouvoir trouver le plus facilement : pas facile de mesurer expérimentalement un temps de demi-vie de plusieurs millier d'années.

Et comment on le trouve ? De toutes façons, ils ont du étudier la forme de la courbe pour trouver le principe de "demie vie" radioactive, non ?

Citation : rushia

Après, j'ai presque envie de dire que c'est une affaire de convention, on pourrait très bien imaginer écrire la formule sous la forme suivante (totalement équivalente à celle de ton cours :
<math>\(N(t) = N_02^{\frac{t}{T_{1/2}}}\)</math>

Cette formule me parait plus simple, quand même.
(Au passage, après quelques tests, c'est <math>\(N(t) = N_02^{-\frac{t}{T_{1/2}}}\)</math>, non ?)

Oui pardon, j'ai oublié le moins.

Elle peut sembler plus simple c'est vrai, mais en physique on tombe très souvent sur les fonctions qui s'expriment à l'aide de l'exponentielle (tu en verras de nouveau quand tu étudieras des circuits électriques composés de bobine et de condensateurs). Utiliser la même notation pour tous ces problèmes évite de refaire le travail plusieurs fois : une fois arriver à la forme de la fonction, tu peux tirer des conclusions par analogie avec ce que tu as déjà fait.

Le principe de temps de demie vie vient en effet de l'étude de la forme de la fonction (qu'elle soit obtenue théoriquement ou expérimentalement avec un élément radioactif de temps de demie vie très faible) seulement, pour mesurer directement le temps de demie vie, la seule solution est de prendre un échantillon de <math>\(N_0\)</math> éléments radioactifs et d'attendre que ce nombre arrive à <math>\(\frac{N_0}{2}\)</math>. Le problème, c'est que si le temps de demie vie fait plusieurs millier d'année, cette démarche est impossible. Par contre compter le nombre de désintégrations ayant eu lieu dans un intervalle de temps <math>\(\Delta t\)</math> très petit est faisable assez facilement, on en déduit alors <math>\(\lambda\)</math> et ensuite <math>\(T_{1/2}\)</math>

OK, merci pour toutes ces explications, je crois que mon problème est résolu.