Bonjour donc une question toute bête : comment factoriser :
x^3 -1
Merci d'avance !

1 est une racine évidente de ton polynôme, tu dois donc pouvoir factoriser (x-1)

PS : quand on a un polynôme de degré 3, toujours chercher des racines "évidentes" (entier de -3 à 3 généralement) pour factoriser


Autre solution (selon ton niveau) :
Utiliser les racines cubiques de l'unité qui vont te donner directement la factorisation dans <math>\(\mathbb{C}\)</math>

Je veux juste factoriser dans R, j'aI remarqué que 1 est une racine évidente, mais après comment faire ??

<math>\(x^3-1=(x-1)(a\cdot x^2+b\cdot x+c)\)</math>
Tu développes et tu identifies pour trouver a,b et c.
Sinon on peut remarquer (en connaisant déjà le résultat) que <math>\(\forall x\not=1, x^2+x+1=\frac{x^3-1}{x-1}\)</math>

rushia t'a indiqué que si 1 est une racine de ton polynôme, alors tu peux factoriser ce polynôme par (x-1).
Tu as donc <math>\(P(x)=x^3-1=(x-1) \times Q(x)\)</math>. Il te reste à trouver le polynôme Q, de degré 2. Tu peux l'écrire sous la forme <math>\(ax^2+bx+c\)</math> et chercher les coefficients a, b et c.

Je crois bien que j'ai trouvé :
(x-1)(x^2+x+1)
Merci !

Pendant que j'y suis, j'ai encore une question ou je suis bloqué :
"Justifier que x^3-1 est un multiple de 3"
Je pense qu'il doit y avoir une erreur d'énoncé car 3^3-1 n'est pas multiple de 3...

Ta factorisation est exacte.

Quant à ta question, es-tu sûr qu'elle était posée ainsi ? parce qu'à mon sens, ça ne veut rien dire.

La question ne serait-elle pas "Justifiez que <math>\(3|(x^{3} - 1)\)</math> pour tout <math>\(x\)</math> vérifiant <math>\(x \equiv 1 [3]\)</math>" ? Je me souviens avoir résolu un exercice semblable en Terminale.

Non, il faut justifier que n^3-1 est un multiple de 3

Tu n'as pas d'autres conditions, sur n par exemple ? Parce que si n=2, <math>\(n^3-1=7\)</math> qui n'est pas un multiple de 3...

Que ce soit <math>\(n^{3-1} = n^2\)</math> ou <math>\(n^3 - 1\)</math> ce n'est pas un multiple de 3 donc impossible.
Exemple : n = 16

<math>\(16^2 = 256\)</math>
Ce n'est pas un multiple de 3

Exemple : n = 6
<math>\(6^3 - 1 = 215\)</math>
Ce n'est pas un multiple de 3

Les questions sont exactement :
1) Factoriser n^3 -1
2) Justifier alors que n^3 -1 est un multiple de 3
3) En déduire que n(n²+5) est un multiple de 3

A mon avis c'est une erreur d'énoncé...

Je crois que j'ai compris.
Pour la dernière question ils te demandent d'en déduire que <math>\(n(n^2+5)\)</math> est divisible par 3.
On retrouve le <math>\(n^2 = n^{3-1}\)</math> de la question précédente, et si tu as montré que c'est divisible par 3 alors tu dois t'en servir.
Seulement <math>\(n^{3-1}\)</math> n'est pas divisible par 3 pour tout <math>\(n \in N\)</math> mais seulement pour <math>\(n \equiv 0 \mod 3\)</math>

Dans ce cas-là :

<math>\(n \equiv 0 \mod 3\)</math>
<math>\(n^2 \equiv 0 \mod 3\)</math>
<math>\(n^2 + 5 \equiv 5 \mod 3\)</math>
<math>\(n^2 + 5 \equiv 2 \mod 3\)</math>
<math>\(n(n^2 + 5) \equiv 0 \mod 3\)</math>

Mais tu ne peux rien déduire de la question précédente en l'état puisqu'elle est fausse.

Désolé, c'est n^3 -1

Citation : thebigbost

Désolé, c'est n^3 -1

Ce n'est pas toujours divisible par 3.
Tu es sûr qu'il n'y a aucune condition sur n ?

http://imageshack.us/photo/my-images/11/img0161mic.jpg/

Effectivement, la question est bizarre, parce que c'est faux pour plusieurs valeurs de n... Le mieux serait de demander à ton professeur.

Pour la dernière question (se référer ici) la phrase est effectivement vraie pour tout <math>\(n \in N\)</math>.
Seulement il faut le montrer pour les trois cas suivants (donc pour englober toutes les valeurs possibles de n) :

• <math>\(n \equiv 0 \mod 3\)</math>
• <math>\(n \equiv 1 \mod 3\)</math>
• <math>\(n \equiv 2 \mod 3\)</math>

Et effectivement en le faisant pour chaque cas on s'aperçoit que c'est vrai pour tout <math>\(n \in N\)</math> :

• Si <math>\(n \equiv 0 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 \equiv 0 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 + 5 \equiv 5 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 + 5 \equiv 2 \mod 3\)</math>
  <math>\(n(n^2 + 5) \equiv 0 \mod 3\)</math>
  
• Si <math>\(n \equiv 1 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 \equiv 1 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 + 5 \equiv 6 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 + 5 \equiv 0 \mod 3\)</math>
  <math>\(n(n^2 + 5) \equiv 0 \mod 3\)</math>
  
• Si <math>\(n \equiv 2 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 \equiv 4 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 \equiv 1 \mod 3\)</math>
  <math>\(n^2 + 5 \equiv 0 \mod 3\)</math>
  <math>\(n(n^2 + 5) \equiv 0 \mod 3\)</math>