Bonjour .

En essayant de résoudre un exercice, j'ai suivis un raisonnement qui m'a conduit a une grande extravagance, mais je n'ai pas encore trouvé ou réside le problème :

Voila donc, je cherche les valeurs <math>\(n\)</math> pour lequel <math>\(7^n+1\)</math> est un carré parfait :
<math>\(7^n+1=a^2 \Leftrightarrow 7^n=(a+1)(a-1)\)</math>, donc :

<math>\(\exists (x,y) \in \mathbb{N}^2 \text{ / } x<y \text{ et }x+y=n\)</math> , donc :

<math>\(7^x.7^y=(a-1)(a+1) \Leftrightarrow \begin{cases} a=7^x+1 \\ a=7^y-1 \end{cases}\)</math>
, donc puisque <math>\(2|7^x+7^y\)</math> alors <math>\(a= \frac{ 7^x+7^y}{2}\)</math>, ce qui revient a dire que pour tout nombre <math>\(n\)</math>, nous pouvons trouvez un nombre entier <math>\(a\)</math> tels que : <math>\(7^n+1=a^2\)</math> ce qui est faux ; Ou est le problème donc ?

Et Merci d'avance .

Je ne vois pas pourquoi <math>\(2|7^x+7^y\)</math>, ça sort d'où ?

Citation : Elionor

<math>\(7^x.7^y=(a-1)(a+1) \Leftrightarrow \begin{cases} a=7^x+1 \\ a=7^y-1 \end{cases}\)</math>

Je vois pas pourquoi : on peut très bien avoir ab=cd sans que a=c ou a=d par exemple 5*3=15*1
De plus ici tu as a-1 et a+1 la différence entre ces deux nombres est égale à deux alors que 7^x -7^y sera un entier divisible par 7. Or deux n'est pas divisible par 7.

Citation : mewtow

Je ne vois pas pourquoi <math>\(2|7^x+7^y\)</math>, ça sort d'où ?

7^x et 7^y sont des nombres impairs donc la somme est divisible par deux

Citation : L01c

Citation : Elionor

<math>\(7^x.7^y=(a-1)(a+1) \Leftrightarrow \begin{cases} a=7^x+1 \\ a=7^y-1 \end{cases}\)</math>

Je vois pas pourquoi : on peut très bien avoir ab=cd sans que a=c ou a=d par exemple 5*3=15*1

Oui, mais là pour des raisons de décomposition en nombres premiers, ce qu'il dit est juste (on vérifie qu'on ne peut pas avoir a+1 = 1 ou a-1 = 1, parce que sinon a = 0 ou a = 2 et ce n'est pas possible).

Par contre, Elionor, je pense que ton erreur vient du fait que tu pars de la supposition que <math>\(7^n+1=a^2\)</math> pour arriver à cette même conclusion, ce qui est un peu dérangeant.
En effet, si ce n'était pas possible, tu ne pourrais pas trouver les <math>\((x,y) \in \mathbb{N}^2\)</math> qui te causent tant de souci...
Parce qu'un tel couple ne peut pas exister : s'il existe effectivement, on a aussi <math>\(a = 7^x+1 = 7^y-1\)</math> donc <math>\(7^y - 7^x = 2\)</math>, ce qui semble bien problématique, puisque la différence entre deux puissances de 7 est forcément soit nulle, soit bien supérieure à 2...

Ton raisonnement n'a rien de faux. Tu as juste montré que <math>\(a^2 = 7^n+1 \Longrightarrow a = \frac {7^x+7^y}{2}\)</math> pour un couple <math>\((x,y)\)</math> bien choisi.

Tu ne peux pas pour autant en déduire l'équivalence. En effet, <math>\(a = \frac{7^x+7^y}{2} \Rightarrow a^2 = \frac {7^{2x}+7^{2y}+2\times 7^n}{4}\)</math> et <math>\(a^2 = 7^n+1\)</math> impose alors <math>\(7^{2x}+7^{2y} = 2\times 7^n + 4\)</math> ce qui est impossible (réduction modulo 7).

Est-ce qu'on pourrait avoir le sujet en entier ? Généralement tu as des indications sur comment procéder pour y arriver.
Deuxième petite question, tu es en quelle classe pour avoir ce genre d'exercice ?

Et bien, ce problème était une pièce qui manquait a ma solution pour un exercice d'olympiade, mais je vois donc que 7^n + 1 ne fera jamais de carré parfait, ce qui justifie bien le résultat de l'exercice .

PS : cette année je suis en 2éme année Bac' équivalent de Terminale en France .