Il faut arriver à démontrer que e^(x)/x>x à partir d'un certain x.
Il faut donc trouver une fonction à étudier, et en étudiant les variations, arriver au résultat précédent.

Soit <math>\(f:x\rightarrow e^x-x^2\)</math>.

<math>\(f\)</math> est dérivable une infinité de fois et ses dérivées sont chacune continues sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> (on dit que <math>\(f\)</math> est de classe <math>\(C^\infty\)</math> sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>).

<math>\(\forall x \in \mathbb{R} \ \ \ f'(x) = e^x - 2x\)</math> et <math>\(f''(x) = e^x - 2\)</math>

On a donc :

<math>\(f'\)</math> strictement croissante sur <math>\(]ln(2);+\infty [\)</math>

Or <math>\(f'(ln(2)) = 2 - ln(4) > 0\)</math>

Donc <math>\(f\)</math> strictement croissante sur <math>\([ln(2);+\infty [\)</math>

Et <math>\(f(ln(2)) = 2 - (ln(2))^2 > 0\)</math>

Donc <math>\(\forall x \in [ln(2);+\infty[ \ \ \ f(x) > 0\)</math> donc <math>\(e^x > x^2\)</math>

D'où <math>\(\forall x \in [ln(2);+\infty[ \ \ \ \frac{e^x}x > x\)</math>

Or <math>\(\displaystyle \lim_{+\infty} x = + \infty\)</math>

<math>\(\frac{e^x}x\)</math> est minorée par une fonction qui tend vers l'infini en l'infini, <math>\(\frac{e^x}x\)</math> tend donc vers l'infini en l'infini.