Bonjour à tous.

J'ai remarqué aujourd'hui que je n'avais jamais vu en cours de maths la formule pour calculer l'aire d'un cône (de hauteur <math>\(h\)</math> et dont la base a un rayon de <math>\(r\)</math>). J'ai essayé de raisonner en séparant la base du reste, puis d'aplatir le reste pour former deux triangles superposés. J'ai imaginé que ces deux triangles, que j'ai supposé isocèles, auraient pour hauteur la hauteur du cône, et pour base le périmètre de la base du cône divisé par deux (<math>\(\frac{2 \times \pi \times r}{2} = \pi \times r\)</math>). L'aire d'un des triangles serait donc <math>\(\frac{\pi \times r \times h}{2}\)</math>, et la somme des deux aires <math>\(\pi \times r \times h\)</math>.

L'aire totale serait donc <math>\(\pi \times r^{2} + \pi \times r \times h = \pi \times r \times (r+h)\)</math>, ce qui ne correspond pas du tout à ce que j'ai trouvé sur internet.

Je pense m'être trompé dans la considération de mes triangles, mais n'en suis pas sûr. Quelqu'un pourrait-il m'aider à comprendre ?

Si on regarde le patron d'un cône:



Il faut donc calculer l'aire du petit cercle et l'ajoutée à l'aire de la surface SAB

Si on a h et r, il est très facile d'avoir R avec Pythagore, et on peut de même obtenir <math>\(\alpha\)</math> très facilement, (le périmètre de la partie circulaire de SAB étant le même que celui du cercle de rayon r, on a l'équation: <math>\(\alpha R=2\pi r\)</math> d'où <math>\(\alpha = \frac{2\pi r}{R}\)</math>

Donc, on peut procédé avec des intégrales si on a envie de se prendre la tête, où sinon on remarque que si l'on fait faire un balayage circulaire d'angle <math>\(2\pi\)</math> à un segment de longueur R, celui-ci aura balayé une surface d'aire égale à <math>\(\pi R^2\)</math>.

Comme il y a proportionnalité, une simple règle de 3 donnera l'aire d'un balayage circulaire d'angle <math>\(\alpha\)</math> soit <math>\(\frac{\alpha}{2} R^2=\frac{2\pi r}{2R}^2=\pi r R\)</math>

Et donc l'aire d'un cône est la suivante: <math>\(\pi R r + \pi r^2 = \pi r (R+r)\)</math>

Ah, merci Ahti. Mon erreur était de penser que ce qui est une portion de cercle dans ton schéma est un triangle (quelle horreur !). L'aire d'un cône est donc <math>\(\pi{}r(r+\sqrt{h^{2}+r^{2}})\)</math>.
Cependant, une chose me tracasse : ça ne correspond pas à ce que j'ai trouvé ici (recherchez "cône" dans votre navigateur). Le résultat final serait <math>\(\pi{}r^{2}(1+\sqrt{1+\frac{h^{2}}{r^{2}}})\)</math>...
Je ne comprend malheureusement pas les calculs faits sur la page vers laquelle j'ai donné un lien.


J'ai compris pourquoi la surface latérale ne peut être aplatie en un triangle : quelle horrible erreur ! Voici l'explication :

Citation : Krypt

<math>\(\pi{}r(r+\sqrt{h^{2}+r^{2}})\)</math>.
Cependant, une chose me tracasse : ça ne correspond pas à ce que j'ai trouvé ici (recherchez "cône" dans votre navigateur). Le résultat final serait <math>\(\pi{}r^{2}(1+\sqrt{1+\frac{h^{2}}{r^{2}}})\)</math>...

Les résultats sont les mêmes:
<math>\(\begin{align} \sqrt{r^2+h^2}&=\sqrt{r^2\left(1+\frac{h^2}{r^2}\right)}\\ &=r\sqrt{1+\frac{h^2}{r^2}} \end{align}\)</math>
Et après on factorise dans la parenthèses

Les deux expressions sont égales
<math>\(\pi r(r+\sqrt{h^{2}+r^{2}}) = \pi r (r + \sqrt{\frac{h^2}{r^2} r^2 + r^2 }) = \pi r (r + \sqrt{r^2(\frac{h^2}{r^2} + 1) } ) = \pi r (r + \sqrt{r^2} \sqrt{\frac{h^2}{r^2} + 1}) = \pi r (r + r\sqrt{\frac{h^2}{r^2} + 1}) = \pi r^2(1+\sqrt{\frac{h^2}{r^2} + 1})\)</math>

Là j'ai vraiment très détaillé, normalement on fait toutes les étapes de tête

ÉDIT : grillé !

Oups... Vraiment désolé. J’enchaîne bêtise sur bêtise, décidément : je n'avais même pas pensé que ces deux expressions pouvaient êtres identiques...

Merci en tous cas, je mets en résolu.