Bonjour,

Pouvez-vous m'aider sur ce problème :

Que vaut :

<math>\({\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+{\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+{\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}\)</math>+...+<math>\({\sqrt{1+\frac{1}{2011^{2}}+\frac{1}{2012^{2}}}\)</math>

Sous forme <math>\(\frac{P}{Q}\)</math> ?

Merci

Bonjour,
indication
Le terme générique de ta somme est de la forme :
<math>\(\[ u_{n}=\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}\]\)</math>
Calcule cette expression en réduisant au même dénominateur et tu verras que ça a la bonne idée de faire apparaître un carré parfait de la forme <math>\(\[\sqrt{P^2/Q^2) \]\)</math>
L'expression trés simple de <math>\(u_n\)</math> qui en résulte permet un calcul trés facile de cette somme d'apparence rébarbative.

Edit
je pense que j'ai calculé un peu vite...

Je ne trouve pas le carré parfait J'ai du faire une erreur en réduisant au même dénominateur

Bonjour,
voir mon edit, j'ai été un peu vite en besogne !

edit :
tellement vite que j'avais tort de penser que j'avais tort...il y a bien carré parfait!

Je suis rassuré, ça ne venait pas de moi Mais je n'y suis toujours pas arrivé !

Indication : <math>\(n^4+2n^3+3n^2+2n+1 = (an^2 + bn + c)^2\)</math>.
Je te laisse trouver a,b,c !

Indication pour la suite : <math>\(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{d}{n} - \frac{e}{n+1}\)</math>.
Je te laisse trouver d et e !

J'ai fait :

- En calculant le premier terme, le deuxième, puis le troisième je remarque que la racine "disparait", en effet je trouve resp. 7/6 ; 13/12 et 21/20 (est-ce que cela serait-intéressant de continuer pour les termes suivants ?)

- On peut sûrement s'aider du fait que les termes peuvent s'écrire sous forme : 1+1/2-1/3 ; le deuxième 1+1/3-1/4

Mais impossible pour les derniers termes.

Et je ne comprends pas ce que tu me montres... :-/ Je suis sur mon portable, je regarde quand je rentre mais peux tu me donner plus de détails ? Merci beaucoup

Bon bon.
En mettant au même dénominateur, on a <math>\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = \dots = \sqrt{\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}} = \frac{\sqrt{(an^2+bn+c)^2}}{n(n+1)} = \frac{an^2+bn+c}{n(n+1)}\)</math>.
Je te laisse toujours trouver a,b,c

es-que cette formule permet de calculer la valeur de cette somme ?

Oui : en utilisant cette formule sur tous les termes de la somme puis l'autre indication donnée par krosian puis un changement d'indice on peut calculer la somme.

Bonjour,
au réveil, j'ignore pourquoi j'ai édité hier soir dans mon premier post pour dire que ce que j'annonçais ( carré parfait ) était faux!
...aveuglement calculatoire lors d'une vérification de trop?

Bon je n'y arrive pas avec cette dernière technique...

Je suis d'accord pour :

<math>\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = \dots = \sqrt{\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}} = \frac{\sqrt{(an^2+bn+c)^2}}{n(n+1)} = \frac{an^2+bn+c}{n(n+1)}\)</math>.


On aura forcément a, b et c = 1 puisque seulement n varie...

et je trouverai 7/6 ; 13/12 et 21/20 pour mes premiers termes. Mais comment arriver au bout de la somme ?

<math>\(\frac{7}{6}+\frac{13}{12}+\frac{21}{20}+...+\frac{4046133}{4046132}\)</math>


et

<math>\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)</math>

Pour calculer la somme, il suffit de remarquer que <math>\(\frac{1+n+n^2}{n(1+n)} = 1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)</math>, on peut donc effectuer un télescopage pour obtenir <math>\(\sum _{n=2}^N \frac{1+n+n^2}{n(1+n)} = \frac{-3+N+2 N^2}{2 (1+N)}\)</math>