Bonjour à tous.

Voilà je dois résoudre cette inéquation :

<math>\(\left|\frac{8-4\,x }{x^2-4x+9}\right|< 0.025\)</math>

Je sais que le polynôme du dénominateur est strictement positif(pas de solutions réelles donc du signe du coef de <math>\(x^2\)</math> sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>) donc je l'ai transformée comme ceci :
<math>\(\frac { \left| 8-4\,x \right| }{{x}^{2}-4\,x+9}}< 0.025\)</math>

Mais à partir de là je bloque. Pouvez-vous m'aider ?
Je ne veux pas de réponse, juste une méthode, un indice me permettant de débloquer la situation.
Merci d'avance.

Edit : erreur de signe

Tu sais quel est le signe de <math>\(-8+4x\)</math>. Tu peux donc distinguer les cas, c'est-à-dire quand <math>\(\left|-8+4x\right|=-8+4x\)</math> et quand <math>\(\left|-8+4x\right|=-\left(-8+4x\right)\)</math>...
Tu distingues donc les cas, mais je te laisse chercher:


Édit: correction d'une erreur de calcul.

J'ai édité car je me suis trompé dans les signes de mon numérateur

Cela ne change pas grand-chose au résultat et rien à la démarche.

Édit: correction d'une erreur de calcul.

|x|<a équivaut à -a<x<a.

Je ne sais pas si c'est vraiment utile, mais le polynôme du dénominateur atteint son minimum (le sommet de la parabole) en <math>\(x_0=-\frac{b}{2a}=2\)</math>, la courbe est donc symetrique par rapport à la droite d'equation <math>\(x=2\)</math> et comme <math>\(-8+4x\)</math> s'annule aussi en <math>\(x_0=2\)</math>, la courbe de <math>\(|-8+4x|\)</math> est aussi symétrique par rapport à la droite d'equation <math>\(x=2\)</math> donc a priori, tu peux résoudre en retirant les valeurs absolues et obtenir ainsi la moutier des solutions (les autres solutions sont symétriques par rapport à la droite d'equation <math>\(x=2\)</math>)
Je fais cette remarque simplement parce que la coïncidence me semble assez opportune.

@zMath c'est pas plutôt

<math>\(\left|8-4x\right| \begin{cases}8-4x \ \text{si }x<2\\-8+4x \ \text{si }x>2\end{cases}\)</math>

??

Citation : jAlon

@zMath c'est pas plutôt

Euh si. Je vais corriger ça de suite
D'ailleurs les deux inégalités ne devraient pas être strictes.

Je comprends bien que j'ai deux cas. Mais je ne vois pas comment poursuivre ensuite. C'est le polynôme qui me gêne, je ne sais pas quoi en faire, car je ne peux pas le factoriser (pas de racines réelles).
Dois-je faire un tableau de signe, ou quelque chose de ce genre ?

<math>\(0.025=\frac{1}{40}\)</math>
Donc:
<math>\(\begin{align} \frac{|8-4x|}{x^2-4x+9}<\frac{1}{40}&\iff \frac{40|8-4x|}{x^2-4x+9}<1\\ &\iff \frac{40|8-4x|-x^2+4x-9}{x^2-4x+9}<0\\ &\iff \frac{x^2-40|8-4x|-4x+9}{x^2-4x+9}>0\\ &\iff \begin{cases} x^2+(-320+160x)-4x+9>0&\text{si }x<2\\ x^2+(320-160x)-4x+9>0&\text{si }x>2 \end{cases}\text{ car le d\'enominateur est toujours strictement positif}\\ &\iff \begin{cases} x^2+154x-311>0&\text{si }x<2\\ x^2-164x+329>0&\text{si }x>2 \end{cases} \end{align}\)</math>
En espérant ne pas avoir fait d'autres erreurs de calculs... tu peux alors résoudre même si les solutions ne sont simples.