Bonsoir,
J'aimerais démontrer la convergence de l'intégrale de Fresnel: <math>\(\int_{0}^{\infty}{sin(x^2)\ dx}\)</math>, en posant <math>\(u = x^2\)</math>, seulement, je ne vois pas trop comment m'y prendre
À chaque fois sur google, je trouve comment la calculer, mais ce qui m'intéresse, c'est de démontrer sa convergence d'abord.

Quelqu'un a -t-il des pistes ?
Merci

Souvent, dans ce genre de calculs où interviennent des lignes trigo, il est bon d'utiliser l'exponentielle complexe exp(iu²)du.
On démontre ensuite la convergence de l'intégrale de exp(iu²)du entre 0 et ∞, puis on utilise la définition exp(ix) = cos x + isinx pour conclure la convergence de ∫exp(iu²)du.
On peut effectuer un changement de variable, puis intégrer par parties, mais on peut directement intégrer par parties.

Je n'ai pas encore de logiciel adéquat pour écrire les maths; dans quelques jours, je pense.

Bonjour,
L'utilisation du théorème d'Abel permet de prouver directement la convergence.
On étudie la convergence à l'infini de <math>\(\[ \int_{1}^{\infty}sin(x^{2})dx \]\)</math>, sachant que l'intégrale sur [0,1] existe.
En posant <math>\(\[ u=x^{2} \]\)</math>, l'intégrale devient <math>\(\[ \int_{1}^{\infty}\dfrac{sin(u)}{2\sqrt{u}}du \]\)</math>
Alors <math>\(\[ f(u)=\dfrac{1}{2\sqrt{u}} \]\)</math> est positive décroissante vers zéro et <math>\(\[\vert \int_{0}^{t} sin(u)du\vert \]\)</math> est bornée par 1 , <math>\(\[ \forall t \]\)</math>
Les conditions du théorème d'Abel sont respevtées pour assurer la convergence de l'intégrale du produit sin(u)f(u) donc de l'intégrale de Fresnel.

Tu as un lien vers ce Théorème d'Abel ? Car wikipedia n'en connaît pas pour les convergences.

Le théorème d'Abel pour la convergence d'une intégrale généralisée s'énonce ainsi :

Soit f une fonction positive, continue et décroissante vers 0 sur <math>\([a, +\infty[\)</math>.
Soit g une fonction telle que son intégrale sur tout intervalle <math>\([a,b], b > a\)</math> , existe et soit bornée.
Dans ces conditions, l'intégrale :


est convergente (i.e. la limite, lorsque b tend vers <math>\(+\infty\)</math>, de l'intégrale sur <math>\([a,b]\)</math> du produit fg existe et est finie).

Pour la démonstration, voici un lien.

Merci beaucoup, je ne connaissais pas.