Bonjour,

Aujourd'hui (enfin ça fait longtemps que ça me trotte dans la tête), je me suis demandé comment intégrer <math>\(cos(x)^n\)</math>.

J'ai résolu le cas ou n est impair, mais lorsque n est pair, je n'ai rien trouvé de mieux que de linéariser <math>\(cos(x)^n\)</math>.

J'aimerais savoir si quelqu'un pouvait me donner une piste.

Merci d'avance !

En regardant wikipedia (3° intégrale), on peut penser qu'il n'y a pas de réponse simple dans le cas général. Wolfram|alpha fait intervenir une fonction hypergéométrique.
Je pense pas qu'il y ait mieux que linéariser (wikipedia, regarde dans généralisation).

Salut,

Que veux-tu faire exactement ? Trouver une primitive de <math>\(x \mapsto cos^n(x)\)</math> ou calculer une intégrale de cette fonction sur un segment. Dans le dernier cas, je te conseille de jeter un oeil aux Intégrales de Wallis, qui ne fournissent pas une primitive de la fonction, mais qui permettent de déterminer, grâce à des relations de récurrences, la valeur de l'intégrale de <math>\(x \mapsto cos^n(x)\)</math> sur <math>\([0,\pi/2]\)</math> pour tout n.

Bonjour,
Comme l'indique @sylpro, ces intégrales sont les intégrales de Wallis que l'on peut calculer explicitement par récurrence sur <math>\([0,\pi/2]\)</math> que n soit pair ou impair.
Par contre, je ne connais pas la façon de faire, si elle existe, pour calculer explicitement la primitive y compris pour n impair .
Dans ce cas le changement de variable <math>\(u=sin(x)\)</math> va donner un intégrande de la forme <math>\((1-u^2)^pdu\)</math> .
Qu'entends tu alors par " j'ai résolu le cas n impair". Peux tu expliciter ce calcul?

En tout cas le dernier lien donné par zMath résout le problème : il suffit d'intégrer la forme linéarisé.

Bonsoir,
à rom 1504
oui, j'ai bien regardé le lien que tu indiques
mais je me suis mal exprimé, ma remarque portait sur ce que pouvait faire Cromwell05 pour dire qu'il avait résolu le problème pour n impair et pas pair, sans avoir, a priori, fait appel à ce qui a été ultérieurement indiqué .
Les formes linéarisées conduisent à des solutions dans les deux cas.

Pour n impair, vous transformez <math>\(cos(x)^{2n+1}=cos(x) \times (1-sin(x)^2)^n\)</math>.

Or une primitive de <math>\(cos(x) \times sin(x)^i\)</math> est : <math>\(\frac{sin(x)^{i+1}}{i+1}\)</math>.

Seulement pour le cas où n est pair, je n'ai pas pu faire de changement de variable, ni réarrangements autres que la linéarisation qui n'est pas très pratique.

Au fait, j'avais déjà entendu parler des intégrales de Wallis, je vais me plancher là-dessus.
Mais je cherchais en fait la primitive de <math>\(cos(x)^n\)</math> qui s'annule en 0.

Bonjour,
Ce que tu indiques pour n impair revient bien à la transformation que j'ai indiquée pensant que c'était que tu avais fait.
Mais le calcul qui en résulte n'est guère plus simple que celui de la linéarisation puisqu'il faut bien développer <math>\((1-sin(x)^2)^n\)</math>, selon la puissance de n par la formule du binôme pour utiliser les primitives de <math>\(cos(x)sin(x)^i\)</math> pour chaque i de 0 à n.
Sinon pour n pair cela ne marche effectivement pas aussi simplement mais on peut, outre la linéarisation, obtenir une récurrence qui revient au calcul de Wallis mais en moins simple, car pour Wallis en intégrant entre 0 et <math>\(\pi /2\)</math>, il y a un terme de la forme <math>\(sin(x)cos^{2p-1}(x)\)</math> qui a la bonne idée de s'annuler pour ces bornes d'intégration, simplifiant considérablement la résolution de la récurrence.

Merci, en effet j'ai vu ça hier soir, et j'ai pu tirer une formule de récurrence et aussi en déduire que la suite était strictement décroissante.

J'ai même obtenu une formule, enfin avec des factorielles.

Et en fait, je ne connais pas de méthode vraiment pratique pour linéariser, alors que pour développer <math>\((1-sin(x)^2)^n\)</math>, c'est facile avec la formule des binômes de Newton !

EDIT :

Après une petite recherche sur google, je suis tombé sur un forum : http://forum.mathematex.net/tribune-ma [...] -n-t3177.html.

Pour ceux que ça intéresse, il y a les formules de linéarisation (une somme de cosinus), ce qui permet facilement d'intégrer <math>\(cos^n(x)\)</math>.