Bonjour,

J'ai une question plutôt simple. Lorsque l'on dit, le point A appartient au segment [BC], est-ce que A peut être confondu avec B ou C ?
Autrement dis, soit x la distance AB, es-ce que x peut avoir comme valeur 0 ?

Je pense que oui car on peut dire que le point B appartient au segment [BC]. De même pour le point C.

Merci d'avance.

Oui. Si on veut exclure les points B et C, on note parfois ]BC[.

Une des 3 propriétés des distances est qu'elle doit être supérieure ou égale à 0.
Donc oui.

ça c'est du raisonnement à l'envers

Ok merci tout le monde, sujet résolu.

@torchon: ??

D'ailleurs, ce n'est pas seulement vrai dans R, mais également dans n'importe quelle espace métrique.

Je pense que pour définir la notion de segment, il faut un espace vectoriel sur un corps contenant R.

Edit : je retire ce que j'ai dit, en fait on doit pouvoir dire que c'est l'ensemble des points qui optimisent l'égalité triangulaire entre les deux extrémités, ce qui est sans doute la définition à laquelle pensait Hod.

Je ne pensais pas à cela, mais pourquoi pas.
Pour moi, quand tu me parles de distance sur un segment, je pense à un espace vectoriel de dimension 1 et même implicitement je pense à R.
C'est peut-être un raccourcis ou abus, m'enfin, dans ce cas il me semble que c'est la manière la plus simple de représenter un segment que de se placer dans R.

Oui justement, je voulais dire que ça ne marchait pas forcément dans tout espace métrique (puisque un espace métrique n'est pas nécessairement vectoriel), mais en fait avec la définition utilisant seulement la distance ça doit aller.

Tu voudrais définir la notion de segment comment, à part comme étant la distance entre deux points ? Peut-être l'écart entre deux points, mais là on reste sur des espaces pseudométriques et ce n'est jamais qu'une généralisation.

As-tu des exemples d'espaces métriques non formés à partir d'espace vectoriel ? Parce que mon niveau en topo est assez faible.

Attention un segment ce n'est pas "la distance entre deux points", c'est au moins un ensemble de points (peut-être muni d'une structure plus forte, comme une fonction de [0,1] dans le segment qui le "parcourt").

Un exemple simple d'espace métrique qui n'est pas muni d'une structure vectorielle : si tu prends un ensemble E quelconque, tu peux prendre la distance "discrète" telle que pour x,y dans E, d(x,y) = 0 si x=y, et 1 sinon. C'est bien une distance et il n'y a pas d'espace vectoriel en général (par exemple il n'y a pas d'origine). Avec la définition "métrique", le segment entre deux points dans cet espace est l'ensemble de ces deux points.

Plus généralement, tu peux considérer un graphe non dirigé, et considérer que deux voisins sont à une distance 1 (ou éventuellement mettre des poids aux arrêtes). Le cas discret correspond au cas où tous les nœuds sont connectés entre eux. Avec la définition métrique d'un segment, le segment entre A et B est alors l'ensemble des nœuds sur le(s) plus court(s) chemin(s) entre A et B.

Ok d'accord, ... J'ai le niveau de seconde est j'ai posté cette question afin de réussir une question d'un exercice.

Pour moi, un segment est l'ensemble des points situé entre 2 points de l'espace (en comptant ces derniers). Après, je ne connais pas les différents type d'espace et je ne comprend pas la moitié de ce que vous racontez. (Malgrès l'aide que m'apporte Wikipédia)

C'est normale docteur ?

Oui.

Citation : bluestorm

Attention un segment ce n'est pas "la distance entre deux points", c'est au moins un ensemble de points (peut-être muni d'une structure plus forte, comme une fonction de [0,1] dans le segment qui le "parcourt").

Un exemple simple d'espace métrique qui n'est pas muni d'une structure vectorielle : si tu prends un ensemble E quelconque, tu peux prendre la distance "discrète" telle que pour x,y dans E, d(x,y) = 0 si x=y, et 1 sinon. C'est bien une distance et il n'y a pas d'espace vectoriel en général (par exemple il n'y a pas d'origine). Avec la définition "métrique", le segment entre deux points dans cet espace est l'ensemble de ces deux points.

Plus généralement, tu peux considérer un graphe non dirigé, et considérer que deux voisins sont à une distance 1 (ou éventuellement mettre des poids aux arrêtes). Le cas discret correspond au cas où tous les nœuds sont connectés entre eux. Avec la définition métrique d'un segment, le segment entre A et B est alors l'ensemble des nœuds sur le(s) plus court(s) chemin(s) entre A et B.

Ha mais je suis bête, je travaille systématiquement ou presque sur des espaces métriques non vectoriel à vrai dire, c'est juste qu'on me précise qu'ils le sont que... lorsqu'ils le sont . Je ne m'étais jamais posé la question, et comme en parallèle je suis sur les espaces euclidiens, de hilberts, préhilbertiens, alors forcément, c'était un peu le schmilblick. Ce sujet aura au moins mis à mal mes raccourcis. =)

Autant pour moi pour la définition du segment, il était un peu tard. Mais du coup, effectivement, on peut penser à la distance qui maximise l'inégalité triangulaire.

T'inquiètes pas @che, ce n'est que du vocabulaire et des généralisations de concepts que tu connais déjà et/ou relativement intuitifs. C'est niveau Bac+1/+2 en fonction du parcours je pense.