Bonjour.

Voilà plusieurs heures que je m'acharne à essayer de comprendre la maniere de calculer le produit de deux permutations cycliques notées sous la forme (x,y,z,...,n)(a,b,c,d,...,m).

Sous leur forme matricielle je ne fais pas d'erreur mais quand il s'agit de calculer par exemple le produit o = (1,3,5)(1,2,4,5)(1,2,3), je fais n'importe quoi !

Voyez plutôt mon raisonnement :

1 devient 2, 2 devient 4, 4 devient 5, 5 devient 1 donc o(1) = 1

2 devient 4 qui devient 5 qui devient 1 donc o (2) = 1

Ce n'est deja pas possible la composée de deux bijections est une bijection or ici o (1) = o (2) donc je n'ai pas d'injection.

Et j'ai une question supplémentaire quelle est l'ecriture matricielle par exemple de la permutation (1,2,3) je veux dire, combien de colonnes compte elle ?

Merci de m'aider je suis au bord des larmes, j'ai la sensation d'etre un imbécile parmis les animaux tandis que vous etes les bergers :(.

Merci,

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Edité par Eridanis 10 septembre 2017 à 22:05:58

Ah, la notation des permutations, ça a été ma bête noire en licence ! (Les profs avaient l'air de trouver ça évident...) Je ne comprends pas ton raisonnement :

> 1 devient 2, 2 devient 4, 4 devient 5, 5 devient 1 donc o(1) = 1

1 devient 2 à cause de (1, 2, 3), n'est-ce pas ? Ensuite, 2 devient 4 à cause de (1, 2, 4, 5) ? Mais pourquoi tu ré-utilises (1, 2, 4, 5) pour savoir ce que devient 4 ? Le (1, 2, 3), tu ne l'as pas utilisé deux fois.

D'ailleurs, que signifie pour toi (1, 2, 4, 5) ? Ce ne serait pas : 1 devient 2, 2 devient 4, 4 devient 5, 5 devient 1... et que devient 3 ? (3 reste 3, non ?)

> 2 devient 4 qui devient 5 qui devient 1 donc o (2) = 1

Pourquoi 2 ne devient pas 3 ? La première permutation à prendre en compte n'est plus (1, 2, 3), comme tu l'avais fait avant ?

Bref, je ne suis absolument pas sûr de moi (la notation des permutations m'a toujours parue tordue...) mais j'aurais dit :

‒ 1 devient 2 par (1, 2, 3), puis 2 devient 4 par (1, 2, 4, 5), puis 4 reste 4 par (1, 3, 5). Donc σ(1) = 4.

‒ 2 devient 3, puis 3 reste 3, puis 3 devient 5. Donc σ(2) = 5.

‒ 3 devient 3 devient 1, puis 1 devient 2, puis 2 reste 2. Donc σ(3) = 2.

‒ 4 reste 4, puis 4 devient 5, puis 5 devient 1. Donc σ(4) = 1.

‒ 5 reste 5, puis 5 devient 1, puis 1 devient 3. Donc σ(5) = 3.

Ça a l'air bijectif, c'est bon signe ! (Mais j'ai peut-être composé les permutations dans le mauvais ordre ?)

Pour l'« écriture matricielle » de (1, 2, 3), est-ce que tu parles de ça :

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right) \]

(On appelle ça une écriture matricielle ? Ce ne sont pas franchement des matrices...)

J'espère ne pas avoir dit de bêtises, mais j'ai toujours un petit doute vu que j'ai toujours été fâché avec ça...

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Edité par robun 11 septembre 2017 à 9:14:16

Pour (1,2,3), je verrais bien cette matrice :

0 1 0

0 0 1 

1 0 0

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Edité par tbc92 11 septembre 2017 à 11:00:27

Les matrices de permutations généralisent ce qu'a écrit tbc92.

Les matrices de permutation d' ordre n sont les matrices de coefficient 0 ou 1 avec un seul 1 sur chaque ligne et chaque colonne. Il y a en a évidemment \(n!\) et sont en bijection avec les permutations de l'ensemble \((1,2,...,n)\)  

robun a écrit:

 Bref, je ne suis absolument pas sûr de moi (la notation des permutations m'a toujours parue tordue...) mais j'aurais dit :

 Edité par robun il y a environ 5 heures

 ...néanmoins ton calcul m'a l'air juste !

 Par contre, je ne vois pas ce que la notation a de tordu et la composition, c'est de la composition de fonctions discrètes   ...tu verrais quoi comme notation non tordue 

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Edité par Sennacherib 11 septembre 2017 à 16:44:14

robun a écrit:

Ah, la notation des permutations, ça a été ma bête noire en licence ! (Les profs avaient l'air de trouver ça évident...) Je ne comprends pas ton raisonnement :

> 1 devient 2, 2 devient 4, 4 devient 5, 5 devient 1 donc o(1) = 1

1 devient 2 à cause de (1, 2, 3), n'est-ce pas ? Ensuite, 2 devient 4 à cause de (1, 2, 4, 5) ? Mais pourquoi tu ré-utilises (1, 2, 4, 5) pour savoir ce que devient 4 ? Le (1, 2, 3), tu ne l'as pas utilisé deux fois.

D'ailleurs, que signifie pour toi (1, 2, 4, 5) ? Ce ne serait pas : 1 devient 2, 2 devient 4, 4 devient 5, 5 devient 1... et que devient 3 ? (3 reste 3, non ?)

> 2 devient 4 qui devient 5 qui devient 1 donc o (2) = 1

Pourquoi 2 ne devient pas 3 ? La première permutation à prendre en compte n'est plus (1, 2, 3), comme tu l'avais fait avant ?

Bref, je ne suis absolument pas sûr de moi (la notation des permutations m'a toujours parue tordue...) mais j'aurais dit :

‒ 1 devient 2 par (1, 2, 3), puis 2 devient 4 par (1, 2, 4, 5), puis 4 reste 4 par (1, 3, 5). Donc σ(1) = 4.

‒ 2 devient 3, puis 3 reste 3, puis 3 devient 5. Donc σ(2) = 5.

‒ 3 devient 3 devient 1, puis 1 devient 2, puis 2 reste 2. Donc σ(3) = 2.

‒ 4 reste 4, puis 4 devient 5, puis 5 devient 1. Donc σ(4) = 1.

‒ 5 reste 5, puis 5 devient 1, puis 1 devient 3. Donc σ(5) = 3.

Ça a l'air bijectif, c'est bon signe ! (Mais j'ai peut-être composé les permutations dans le mauvais ordre ?)

Pour l'« écriture matricielle » de (1, 2, 3), est-ce que tu parles de ça :

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right) \]

(On appelle ça une écriture matricielle ? Ce ne sont pas franchement des matrices...)

J'espère ne pas avoir dit de bêtises, mais j'ai toujours un petit doute vu que j'ai toujours été fâché avec ça...

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Edité par robun il y a environ 8 heures

Merci beaucoup ! Je n'ai pas les moyens d'etudier a la faculté donc je m'efforce de le faire en autodidacte, j'ai bien mieux compris maintenant.

Je designais bien cette ecriture sous le nom d'ecriture matricielle je comprenais que ce n'etait pas vraiment une matrice mais je ne connais pas le nom de cette ecriture

Je te met un +1 naturellement :).

Sennacherib a écrit:

 Par contre, je ne vois pas ce que la notation a de tordu et la composition, c'est de la composition de fonctions discrètes   ...tu verrais quoi comme notation non tordue 

En fait, plutôt que de rentrer dans les détails, je vais juste signaler la vraie raison de ma mauvaise opinion concernant la notation des permutations : j'ai raté un partiel de licence (c'est-à-dire que j'ai eu 0 à l'un des trois exercices, celui sur les permutations) parce que je n'avais pas compris leur notation, alors que j'étais au point sur tout le reste. Dès le départ j'étais parti avec une autre permutation, d'où le 0 (heureusement j'avais assuré dans les autres exercices et j'ai quand même eu la moyenne, ouf). Désormais, je déteste cette satané notation de %µ@#*. Alors oui, c'est de la mauvaise foi, mais c'est plus fort que moi...