Bonsoir,

Cherchant a calculer la valeur de <math>\(\tan{\pi / 8}\)</math>, j'arrive a cette fraction :


Je n'arrive pas a simplifier totalement, voici ce que j'ai fait :

<math>\(\Leftrightarrow \sqrt{ \frac{ 2 - \sqrt{2} }{ 2 + \sqrt{2} } } }\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \sqrt{ \frac{ (2 - \sqrt{2})^2 }{ (2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2}) } } }\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \sqrt{ \frac{ 4 - 4 \sqrt{2} + 2 }{ 4 - 2 } } }\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \sqrt{ \frac{ 6 - 4 \sqrt{2} }{ 2 } } }\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \sqrt{ 3 - 2 \sqrt{2} } }\)</math>

Voila, ici je suis bloqué, alors que Wolfram|Alpha donne comme solution : <math>\(\sqrt{2} - 1\)</math>

Une idée de ce que j'aurai du faire ?

Merci d'avance !

Compare les carrés de ces deux nombres.

Dans ton passage de la deuxième à la troisième ligne, pourquoi tu t'embêtes à développer ton carré alors qu'il est placé sous une racine ?

Mauvaise manie de développer .
<math>\(\sqrt{ \frac{ (2 - \sqrt{2})^2 }{2 }\)</math>

Divise la racine en deux, et utilise le fait que <math>\(\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)</math>

Bonsoir,

<math>\(\begin{align}\sqrt{3-2\sqrt{2}} = & \sqrt{2-2\sqrt{2}+1} \\=& \sqrt{\sqrt{2}^{2}-2\sqrt{2}+1} \\=&\underbrace{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}_{Identit\'e~remarquable} \\=&\left|\sqrt{2}-1\right| \\=& \sqrt{2}-1\end{align}\)</math>

Waw, déjà toutes ces réponses. Je me sens stupide, du coup...

En tous cas, merci a vous tous , et désolé pour le dérangement.

Citation : L01c

Compare les carrés de ces deux nombres.

Pas compris, quels deux nombres ?

Citation : Ahti

Dans ton passage de la deuxième à la troisième ligne, pourquoi tu t'embêtes à développer ton carré alors qu'il est placé sous une racine ?

Ah, ben oui bien sur , merci.

Ça donne bien :
<math>\(\Leftrightarrow \sqrt{ \frac{ (2 - \sqrt{2})^2 }{ (2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2}) } } }\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{2}}{ \sqrt{2} }\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{ \sqrt{2}^{2} }\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow \sqrt{2} - 1\)</math>

Citation : Manuu

<math>\(\begin{align}\sqrt{3-2\sqrt{2}} = & \sqrt{2-2\sqrt{2}+1} \\=& \sqrt{\sqrt{2}^{2}-2\sqrt{2}+1^{2}} \\=&\underbrace{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}_{Identit\'e~remarquable} \\=&\left|\sqrt{2}-1\right| \\=& \sqrt{2}-1\end{align}\)</math>

Tres classe !

Il parle de ce nombre <math>\(\sqrt{ 3 - 2 \sqrt{2} } }\)</math> et de ce nombre <math>\(\sqrt{2} - 1\)</math>.

Compare les carrés, s'ils sont identiques, alors ces nombres sont identiques au signe près.

PS : utilise plutôt des égalités que des équivalences ici

Bonsoir,

Ce soir, je butais sur la simplification de le solution d'une équation du second degré :


J'étais parvenu à :
<math>\(\Delta = (\sqrt{3} - 1)^{2} - 4(-\sqrt{3}) = 4 + 2 \sqrt{3}\)</math>

Avec cette solution :
<math>\(x = \frac{-(\sqrt{3} - 1) \pm \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}}{2}\)</math>

Mais impossible de simplifier <math>\(\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}\)</math>, lorsque soudain j'ai pensé à m'inspirer de ce qu'a fait Manuu ci-dessus :
<math>\(\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3 + 2 \sqrt{3} + 1}\)</math>
<math>\(= \sqrt{\sqrt{3}^{2} + 2 \sqrt{3} + 1^{2}}\)</math>
<math>\(= \sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}\)</math>
<math>\(= \sqrt{3}+1\)</math>

Donc en fait :
<math>\(x = \frac{-\sqrt{3} + 1 \pm (\sqrt{3} + 1)}{2}\)</math>
<math>\(x = 1 \text{ ou } x = -\sqrt{3}\)</math>

Donc au final, c'est bon, mais voila, je me demande s'il n'y a pas une methode plus systématique pour simplifier correctement, parce que j'imagine qu'on ne tombe pas toujours si facilement sur une identité remarquable...

Avez vous des conseils à me donner ? Ça me perturbe, ce truc...

Merci d'avance !

Salut,

Tu peux en effet tomber sur des trucs qui piquent un peu les yeux et qui se laissent moins facilement ramener à une identité remarquable. Mais en général les énoncés sont faits pour que ce soit pas trop laborieux, car après ça n'a pu trop d'intérêt. En tout cas quand ce n'est pas trivial tu peux toujours canoniser.

Je ne connais pas de méthode plus rapide pour aboutir au bon résultat. Tu verras que quand tu commenceras à la maîtriser (sans avoir à tout développer) tu iras très vite.

Je confirme ce que dis Xango : dans la "vraie vie", il ne sera pas possible d'obtenir des expressions "simples" à tous les coups. Par exemple si on avait <math>\(\sqrt{5+2\sqrt 3}\)</math> à la place de ton exemple, on ne pourrait pas simplifier (ou alors en utilisant une astuce de super sioux).

D'ailleurs "dans la vraie vie", les coefficients de tes équations seront rarement entiers, ou racine d'entiers !

De toutes façons, dans la vraie vie, les calculs sont faits par ordinateur, et donc une valeur parfaite n'existe pas pour les irrationnels !

OK, merci à vous tous pour vos patientes réponses.

Je passe en résolu (mais vous pouvez toujours exposer votre point de vue si le cœur vous en dit, je lirais bien sûr avec attention).