Bonsoir à tous,

Je suis un passionné des mathématiques, et particulièrement, des équations algébriques, c'est pour ça que je prends l'initiative d'ouvrir un topique pour parler exclusivement, comme l'indique le titre, de l'avenir de ce domaine et de son importance ...

Pour rappel, et d'après la théorie de Galois, les équations algébriques ne sont résolubles par radicaux que si elles sont de degré inférieur ou égale à <math>\(4\)</math>. Ceci dit, si à l'avenir il y' aura des formules explicites pour toutes les racines d'un polynôme quelconque( Équation algébrique ), elles incluront en plus des 4 opérations élémentaires et des fonctions radicaux <math>\(\sqrt[n]{}\)</math>, des expressions qui contiennent des fonctions qu'on ignore leur nature actuellement ...

A votre avis, quelle serait la nature de ces formules, et selon vous , comment on puisse trouver une méthode de résolution claire et simple, à l'instar des équations algébriques de degré <math>\(2\)</math> ... ?

Venez tous, participer et enrichir le débat, et que chacun apporte sa brique à l'édifice pour sortir avec des idées novatrices et fructueuses et pourquoi pas arriver ensemble à deviner leur formes et qu'on puisse trouver leurs solutions ... Les équations algébriques ne demandent pas beaucoup de prérequis et il faut cultiver chacun sa passion dans ce domaine pour aller loin dans la recherche surtout que la recherche dans ce domaine est presque clos actuellement si on la compare avec d'autres domaines de recherche comme la géométrie algébrique, la théorie de Hodge, l'analyse harmonique, EDP ... etc, et, il y'a moins de publications dans ce domaine par rapport aux autres ... Par exemple si vous jetez un oeil sur le site : arxiv.org, vous remarquerez qu'il y'a une absence de publications dans le domaine des équations algébriques, alors qu'il y'a des milliers de publications dans d'autres domaines avec moins d'importance que les équations algébriques ...

Cordialement.

Bonjour Bryan,

Premièrement, je tiens à préciser que je ne suis pas du tout expert en la matière mais je pense situer assez bien l'importance de la résolution d'équations algébriques en mathématiques, physique, etc... Maintenant, pour en venir à ton constat que la recherche dans ce domaine est moindre que dans les autres champs des maths, à mon humble avis, cela tient surtout de deux choses:

- la première, c'est que la résolution d'équations algébriques est principalement un outil (exemple naïf, l'extraction des valeurs propres d'une matrice à partir du polynôme caractéristique): on va donc simplement chercher à résoudre des polynômes qui dépendent du problème étudié à la base, et pas dans un cadre plus général;

- ensuite, il faut savoir que Galois et ses prédécesseurs n'avaient pas les mêmes outils que nous, j'entends par là: l'ordinateur et l'informatique; comme je l'ai dit dans mon premier point, on cherche à résoudre des équations dont la forme est particulière et qui dépend du problème, un ordi actuel arrive sans peine à trouver les racines d'un polynôme de degré très élevé (bien-sûr, des valeurs approchées, mais avec une très grande précision).
Et tu remarqueras, que les méthodes d'approximation des zéros de fonctions (dichotomie, point fixe, Newton, Lagrange - je sais, sont pas tous jeunes...) sont très diverses et variées et ont été très étudiées, sans doute car c'était beaucoup plus pénible de rechercher l'éventuelle forme des racines de polynômes de degré très grand (mais aussi parce que c'est plus général: ça ne s'applique pas qu'à des polynômes).

Enfin, c'est juste pour ouvrir le débat et dire ce que j'en pense; mais le sujet m'intéresse vivement et je suis vraiment intéressé de savoir quelles sont les avancées dans le domaine.

Les équations de degré 5 sont résolubles par des fonctions elliptiques (issues du domaine de l'analyse complexe) par la méthode d'Hermite (oui, c'est pas très joli !)

Bonjour,
@Sylpro :
Je suis tout à fait d'accord avec toi, pour ce que tu dis à propos des méthodes d'approximations des racines d'un polynôme, mais le but de la recherche théorique dans le domaine des équations algébriques dépasse le cadre numérique dont tu parles, Autrement dit, Les avancées théoriques dans ce domaine permettront certainement de comprendre d'autres théories en rapport avec les équations algébriques, notamment en Algèbre, en algèbre tensorielle , et en physique aussi ( Théorie de l'unification des 4 forces fondamentales ) ... Bref, ce qui compte dans la résolution des équations algébriques, n'est pas de se permettre de faire des calculs numériques, mais de comprendre la structure algébrique de ces équations ...

J'aimerai partager avec vous une nouvelle méthode que j'ai découvert à propos de la résolution des équations algébriques de degré : <math>\(2\)</math> :
Voici la nouvelle méthode, que j'aimerai étendre à d'autres équations de degré supérieur, mais je n'y arrive pas encore :

Il s'agit donc, de factoriser l'équation : <math>\(a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = 0\)</math> en une expression de la forme : <math>\(( u_1 x + u_2 y ) ( v_1 x + v_2 y ) = 0\)</math>
On développe cette dernière égalité, et on obtient : <math>\(u_1 v_1 x^2 + ( u_1 v_2 + v_1 u_2 ) xy + u_2 v_2 y^2 = 0\)</math>
On identifie les deux équations terme par terme, et on obtient : <math>\(( 1 )\)</math>
<math>\(u_1 v_1 = a_2\)</math>
<math>\(u_1 v_2 + v_1 u_2 = a_1\)</math>
<math>\(u_2 v_2 = a_0\)</math>
On cherche <math>\(u_1\)</math> , <math>\(u_2\)</math> , <math>\(v _1\)</math> et <math>\(v_2\)</math> sous la forme :
<math>\(u_1 = r_1 e^{i t_{1} }\)</math>
<math>\(u_2 = r_2 e^{i t_{2} }\)</math>
<math>\(v_1 = r_1 e^{- i t_{1} }\)</math>
<math>\(v_2 = r_2 e^{- i t_{2} }\)</math>
D'après <math>\(( 1 )\)</math> :
<math>\(u_1 v_1 = r_{1}^{2} = a_2\)</math>
<math>\(u_2 v_2 = r_{2}^{2} = a_0\)</math>
<math>\(u_1 v_2 + v_1 u_2 = a_1 \ \ \Longrightarrow \ \ r_1 r_2 ( e^{i ( t_{1} - t_{2} )} + e^{-i ( t_{1} - t_{2} )} ) = a_{1}\)</math>
<math>\(\Longrightarrow \ \ \cos ( t_{1} - t_{2} ) = \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} }\)</math>
<math>\(\Longrightarrow \ \ t_{1} = t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } )\)</math>
Par conséquent :
<math>\(u_1 = r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) }\)</math>
<math>\(v_1 = r_1 e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } }\)</math>
<math>\(u_2 = r_2 e^{i t_{2} }\)</math>
<math>\(v_2 = r_2 e^{- i t_{2} }\)</math>
Par suite :
<math>\(a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_2 e^{i t_{2} } y ) ( r_{1} e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_{2} e^{- i t_{2} } y )\)</math>

Donc, on constate qu'il y a plusieurs factorisations suivant les valeurs de <math>\(t_2\)</math> .
On pose , par exemple, <math>\(t_2 = 0\)</math> , et , on obtient :

<math>\(a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( \sqrt{a_{2}} e^{i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } x + \sqrt{a_{0}} y ) ( \sqrt{a_{2}} e^{- i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } x + \sqrt{a_{0}} y )\)</math>

D'après la formule de De Moivre : <math>\(\forall z \in \mathbb{C}\)</math> :
<math>\(e^z = \cos (z) + i \sin (z)\)</math>
On obtient, finalement, la factorisation :

<math>\(a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = \Big( r_1 \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } + i \sqrt{ 1 - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } \Big)^{2} } \Big) x + r_2 y \Big) \Big( r_1 \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } - i \sqrt{ 1 - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } \Big)^2 } \Big) x + r_2 y \Big)\)</math>

@reban :
Merci pour ta contribution.
Cordialement.

Juste un petit aparté pour ceux que ça intéresse en tout cas, à propos de la géométrie algébrique qui est étroitement liée à l'étude des zéros de polynômes à n indéterminées, je vous conseille le très bon bouquin de Perrin, justement nommée Géométrie Algébrique: Une Introduction dans lequel on n'apprend strictement rien sur la résolution des équations algébriques - d'où l'aparté, mais on y voit plutôt un vaste domaine d'étude de la géométrie (notamment projective) des hypersurfaces définies par une ou plusieurs équations algébriques, dont la très utile topologie de Zariski - en tout cas en Géométrie des groupes et bien sûr en géométrie algébrique.

Et pour aller un peu plus loin dans mon aparté et dans l'étude des équations algébriques de manière un peu plus, disons, "exotique", en utilisant des outils assez amusant - pour ma part du moins, il existe un domaine relativement récent: la Géométrie Tropicale dans laquelle, en utilisant des opérations pour le moins inhabituelles sur <math>\(\mathbb R\)</math>, les objets algébriques (coniques, quadriques, etc...) deviennent des sortes de graphes planaires. Faire des calculs dans cette géométrie est vraiment sympa ! Voici un lien vers une introduction à la géométrie tropicale de Itenberg. L'essayer, c'est l'adopter

Les structures des racines des équations algébriques sont bien connues, cf toute la théorie de Galois. Ce n'est pas parce qu'elles ne sont pas résolubles par radicaux au dessus du degré 4 que l'on ne sait rien dessus.
Des travaux d'algèbres très profonds sur le sujets ont été largement menés. Ainsi que des travaux d'analyse (cf les surfaces de Riemann algébriques).

Je pense que la résolution exacte est un sujet qui motive peu de mathématiciens aujourd'hui car ce dont on a surtout besoin en pratique, ce sont des approximations. Et on a des méthodes qui déchirent tout pour cela.

Citation : Bryan26

Bonjour,
Voici la nouvelle méthode, que j'aimerai étendre à d'autres équations de degré supérieur, mais je n'y arrive pas encore :

Il s'agit donc, de factoriser l'équation : <math>\(a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = 0\)</math> en une expression de la forme : <math>\(( u_1 x + u_2 y ) ( v_1 x + v_2 y ) = 0\)</math>

Je n'ai pas regardé tous les détails de ta méthode, mais simplement, tu devrais rajouter toutes les conditions que tu supposes sur les coefficients et sur les indéterminées: on voit après quelques lignes, que ce n'est pas très clair... je m'explique: pour i = 0 et 2, tes <math>\(a_i\)</math> sont des carrés (<math>\(r_i^2\)</math>) ce qui présuppose que ces a_i sont positifs et ensuite, tu divises par certaines quantités qui peuvent s'annuler (quand <math>\(a_0=0\)</math> par exemple), donc il faut des conditions sur les <math>\(a_i\)</math>. Voilà, c'est juste pour avoir des précisions quant aux conditions

Salut,
simple remarque : le fait que les <math>\(a_i\)</math> soit des carrés ne présupose rien de spécial, si <math>\(r_i\)</math> est complexe.

EDIT : à Bryan26 : joli calcul au passage !

Bonsoir,

Merci Sylpro, Aladix et , @dri1 pour vos remarques.

@Aladix :

Tu dis que des travaux d'algèbres très profonds sur le sujet ont été largement menés. Ainsi que des travaux d'analyse (cf les surfaces de Riemann algébriques). Est ce que tu peux me citer quelques liens internet intéressants, qui parlent largement de ces travaux ... Par exemple : quant je tape : surfaces de Riemann algébrique, sur google, celà ne donne pas grand-choses.
Quelle est la différence entre une surface de Riemann "normale" qui relève du domaine de la géométrie différentielle et de la topologie et la surface de Riemann algébrique dont tu parles ... ? Il y'a le mot algébrique qui fait la différence ... Il fait penser au jargon de l'algèbre commutative ...

@Sylpro :

Oui, il faut rajouter toutes les conditions sur les coefficients.
Il faut que <math>\(a_0\)</math> et <math>\(a_2\)</math> soient non nuls, sinon, ce ne serait pas une équation de second degré à proprement parler ...
Les <math>\(a_i\)</math> sont des carrés : <math>\(a_i = r_{i}^2\)</math>, oui, mais, les <math>\(a_i\)</math> peuvent appartenir à <math>\(\mathbb{C}\)</math> , on résout simplement, l'équation dans <math>\(\mathbb{C}\)</math>, et on s'en sort bien ... Voir, cours Analyse complexe, niveau L2 , L3 , par exemple ...

J'attends vos remarques et contributions sur le sujet, et si vous avez de nouvelles idées pour résoudre les équations algébriques de manière explicite, elles sont les bienvenues.
Par exemple, est ce qu'il est possible d'élargir la méthode que j'ai proposé çi - dessus ( Équation de second degré ), à d'autres équations de degré supérieur ? Et comment ?

Cordialement.

Je chipote encore alors !

J'avais bien considéré que les <math>\(a_i\)</math> puissent être complexes dans un premier temps comme vous le faites remarquer et bien sûr, ça ne pose aucun problème quant aux <math>\(a_i=r_i^2\)</math> dans ce cas. Mais ensuite, tu prends des racines de <math>\(a_i\)</math>: <math>\(\sqrt{a_i}\)</math> ce qui, pour moi, n'a de sens que dans le cas réel puisqu'on prend exactement la racine positive du nombre dans ce cas, et en complexe, il n'y a aucune raison d'en favoriser une plutôt qu'une autre, à la rigueur on peut en favoriser une comme ça <math>\(z^{\frac{1}{2}}=r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}\)</math> mais rien ne nous dit que <math>\(r_i\)</math> est celle là... Bref, voilà ce qui m'a fait penser que tes <math>\(a_i\)</math> étaient réels en plus du fait que l'écriture <math>\(u_j=r_je^{it_j}\)</math> porte - vous en conviendrez - à confusion si on ne précise pas que <math>\(r_i\)</math> est complexe.

Après, en y regardant de plus près, tu écris <math>\(\sqrt{a_i}\)</math> alors que tu n'en as pas besoin finalement, laisse le <math>\(r_i\)</math> en précisant que <math>\(r_i^2=a_i\)</math>, rajoute bien le fait que les <math>\(a_i\)</math>, <math>\(r_i\)</math> sont dans <math>\(\mathbb C\)</math> et les <math>\(t_i\)</math> sont dans <math>\(\mathbb R\)</math> et les chipoteurs comme moi ne t'embêteront plus

PS: n'oubliez pas de jeter un œil à la géométrie tropicale, d'ailleurs il y de la littérature plus vulgaire - dans le sens vulgarisation - sur le sujet en anglais que le pdf d'Itenberg que j'ai cité et google regorge de liens sur le sujet !

Merci @sylpro pour ses précisions.

Je suis en ce moment, entrain de survoler ton cours : Géométrie tropicale, et je ne sais pas si ce cours est utile pour trouver des méthodes de résolution des équations algébriques, parce que, on fait introduire de nouvelles lois de composition interne dans le semi - corps qu'on note <math>\(\mathbb{R}_{\mathrm{trop}}\)</math>, ce qui change complètement la nature de l'algèbre des équations algébriques, mais, je le lis quant même, car je ne connaissais pas ce domaine avant.

Merci en tous cas.