Quel est la dérivée n-ième de ((x)^n-1)* ln(x) ?

svp veuillez m indiquer une methode assez facile pour aboutir au résultat étant donné que je suis en bac + 1

merci

ps est ce qu on doit uiliser formule de leibniz ?

Tente une démonstration par récurrence :
- calcule les premiers termes (pour n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, là normalement tu vois ce qui se passe)
- déduis-en une formule potentielle pour ta dérivée
- démontre cette formule pour les entiers non nuls par récurrence

Le tout sans utiliser la formule de Leibniz, même si ça doit être possible d'utiliser une méthode avec !

Tu veux dériver <math>\(n\)</math> fois <math>\(f_n(x) = x^{n-1}\ln(x)\)</math> ou <math>\(f_n(x) = (x^n-1)\ln(x)\)</math>?

A priori, dans les deux cas la formule de Leibniz te donnera un résultat, est-ce qu'il sera joli à regarder je sais pas (cherche plutôt ailleurs)

Une autre piste pour la première forme qui peut peut-être aboutir (j'ai pas pousser le raisonnement), en dérivant <math>\(f_n\)</math> une fois, on tombe sur :
<math>\(f'_n(x) = (n-1)x^{n-2}\ln(x)+x^{n-2}=(n-1)f_{n-1}(x)+x^{n-2}\)</math>
Qu'il faut donc dériver <math>\(n-1\)</math> fois pour obtenir le résultat. Or, la dériver <math>\(n-1^{ieme}\)</math> de <math>\(x\mapsto x^{n-2}\)</math> es pas vraiment compliqué, et dériver <math>\(n-1\)</math> fois <math>\(f_{n-1}\)</math> revient au même que dériver <math>\(n\)</math> fois <math>\(f_n\)</math> (à un changement d'indice près) donc il y a peut-être une récurrence sympathique à trouver.
Edit : en fait ce que je dit peut aussi être utilisé avec la seconde forme puisque <math>\(f_n^2 = f_{n+1}^1-\ln\)</math>