Aloha.

Il n'y a pas longtemps dans le RER, j'ai eu une idée de problème mathématique. Je pense avoir une bonne démonstration, mais je ne suis pas entièrement sure.

Alors imaginons que dans un avion, il y ait des passagers de trois nationalités, des Chinois, des Espagnols et des Sénégalais. Et uniquement eux, des hôtesses aux pilotes en passant par les clients. Malheureusement cet avion se crashe, au dessus de l'océan. Heureusement, tout le monde s'en sort, mais ils se retrouvent sur une île déserte non répertoriée et personne ne vient les chercher.
Alors ils décident de s'organiser, pour manger, pour boire, donc pour survivre éternellement sur cette île car tout le monde les a oubliés. Mais au moment de choisir leur chef, un problème se pose. Il y a des Chinois des Espagnols et des Sénégalais, et l'on craint que le chef soit tenté de favoriser sa communauté.
Ils décident donc de vivre sans chef jusqu'à ce que quelqu'un puisse se réclamer de ce poste. Et pour se réclamer de ce poste, il décident qu'il faut que la personne aie exactement autant de sang Chinois que de sang Espagnol que de sang Sénégalais. Pour cela ils décident de creer un registre d'état civil qui note qui se marie avec qui, qui a des enfants avec qui, afin de pouvoir déterminer a quel point quelqu'un est Chinois, Espagnol ou Sénégalais.
Au bout de la combientième génération peuvent-ils commencer à chercher leur chef?

Bonjour Cyrille

Je dirais qu'ils ne pourront jamais chercher leur chef. La « proportion de sang d'une communauté » qu'a un descendant est toujours <math>\(0\)</math> ou une fraction irréductible <math>\(\frac{k}{2^n}\)</math> où <math>\(k, n \in \mathbb{N}^*, k < 2^n, 2 \not | \; k\)</math>.

Ce ne peut donc jamais être <math>\(\frac{1}{3}\)</math>.

Bonne journée

Hola.

C'est aussi mon avis.

J'ai raisonné par l'absurde, et imaginé qu'un chef potentiel existait a une génération n. Si l'on remonte dans son arbre généalogique jusqu'à ce qu'il n'y ait que des gens 100% chinois, espagnols ou sénégalais, on doit arriver à une génération k ayant 1/3 de chaque communauté, donc la génération k doit comporter un nombre de gens divisible par 3. Or comme ce nombre est une puissance de 2, il ne peut être divisible par 3 a cause de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Quand je l'ai exposé à des gens, ils m'ont demandé si j'avais pensé à la possibilité de mariages non conventionnels, comme des gens qui épousent quelqu'un d'une autre génération, ou qui se marient plusieurs fois, ce qui pourrait faire que quelqu'un apparaisse dans deux branches à la fois de l'arbre généalogique d'une autre personne, auquel cas le nombre de gens d'une génération ne serait pas forcément une puissance de 2.
A priori je pense que même dans ce cas on peut se ramener au cas normal en considérant que quand quelqu'un apparait plusieurs fois dans l'abre, tout se passe comme s'il existait deux personnes parfaitement identiques mais distinctes.

Salut!

Je dirais que de toute façon, un descendant X prend la moitié du sang de son père et la moitié du sang de la mère. Ce qui divise à chaque fois par 2 les proportions.
Peut-être qu'en considérant les mariages non-conventionnel, on n'obtient pas du <math>\(\frac{k}{2^n}\)</math> mais on obtient tout de même un nombre père au dénominateur. Tu ne pourra jamais avoir <math>\(\frac{1}{3}\)</math>.

Effectivement, le fait qu'il puisse y avoir des mariages « non conventionnels » ne change rien. Deux individus A et B ayant des « proportions de sang d'une communauté » (PSC) respectives <math>\(\frac{k}{2^n}\)</math> et <math>\(\frac{k'}{2^{n'}}\)</math> avec <math>\(k,k',n,n' \in \mathbb{N}, k \leq 2^n,k' \leq 2^{n'}\)</math> enfanteront un individu ayant une PSC égale à <math>\(\frac{k 2^{n'+1} + k' 2^{n+1}}{2^{n+n'+2}}\)</math>, qui donne <math>\(\frac{k''}{2^{n''}}\)</math> après simplification, avec <math>\(k'',n'' \in \mathbb{N}, k'' \leq 2^{n''}\)</math>.

Tu peux faire une récurrence si tu tiens à montrer le résultat proprement. Tu raisonnes par exemple sur le maximum du degré maximal de filiation des individus d'une population par rapport aux rescapés. Si un individu a par exemple à la fois un parent (degré de filiation 1) et un grand-parent (degré de filiation 2) parmi les rescapés, son degré maximal de filiation par rapport aux rescapés est 2. Le maximum du degré maximal de filiation est le plus grand de ces nombres parmi la population.

Pour un degré maximal de filiation 0 (les rescapés), la PSC des individus est bien de la forme <math>\(\frac{k}{2^n}\)</math> avec <math>\(k,n \in \mathbb{N}, k \leq 2^n\)</math> (en fait <math>\(n=0\)</math> et <math>\(k=0\)</math> ou <math>\(k=1\)</math>).

En supposant la PSC est de la forme précédente pour les individus d'une population où le maximum du degré maximal de filiation est <math>\(m \in \mathbb{N}\)</math>, en utilisant le raisonnement précédent, tu montres aisément que la PSC est de la même forme pour les individus d'une population où le maximum du degré maximal de filiation est <math>\(m+1\)</math>.

Pourquoi quelqu'un qui a des parents appartenant à deux ethnies est considéré comme appartenant aux deux, mais quelqu'un qui a deux parents de la même ethnie n'est pas considéré comme appartenant doublement à cette ethnie ?

Parce que quelqu'un qui a des parents appartenant à deux ethnies est considéré comme appartenant pour moitié à l'une et pour moitié à l'autre. Ce qui fait bien 1 .

Oui, m'enfin, c'est pas dit expressément dans l'énoncé original. Moi, j'aurais tendance à dire que le degré d'appartenance à la communauté Z est proportionnel au nombre d'ancêtre qui appartenaient à Z dans la génération n (on est un quart hongrois quand on a une grand-mère hongroise sur les quatres grand-parents, par exemple).

Si on néglige les générations précédant l'arrivée sur l'île des naufragés, supposons qu'on ait un couple de Chinois et d'Espagnol ayant un enfant. Je note CE. L'enfant d'un couple de deux métis sino-espagnol est donc 2C2E. Maintenant, on suppose que deux sénégalais font un enfant qui est donc 2S. Si 2S et 2C2E ont un enfant, ce dernier à deux ancêtres appartenant à chaque communauté dans la première génération, et on peut donc dire qu'il appartient autant à chaque communauté.

Bien sûr, si on considère que l'enfant hérite d'une moitié des communautés de chaque parents, ça ne marche pas, puisque ça fait une moitié sénégalaise, un quart espagnol et un quart chinois.

Citation : Typhoeus

Oui, m'enfin, c'est pas dit expressément dans l'énoncé original. Moi, j'aurais tendance à dire que le degré d'appartenance à la communauté Z est proportionnel au nombre d'ancêtre qui appartenaient à Z dans la génération n (on est un quart hongrois quand on a une grand-mère hongroise sur les quatres grand-parents, par exemple).

C'est pareil de voir les choses comme ça et tu fais une erreur :

Citation : Typhoeus

Si on néglige les générations précédant l'arrivée sur l'île des naufragés, supposons qu'on ait un couple de Chinois et d'Espagnol ayant un enfant. Je note CE. L'enfant d'un couple de deux métis sino-espagnol est donc 2C2E. Maintenant, on suppose que deux sénégalais font un enfant qui est donc 2S. Si 2S et 2C2E ont un enfant, ce dernier à deux ancêtres appartenant à chaque communauté dans la première génération, et on peut donc dire qu'il appartient autant à chaque communauté.

Tu compte sur 3 génération pour avoir 2C2E donc il te faut aussi 3 génération pour le sénégalais, qui est alors 4S et pas 2S.Et là on retrouve le problème

Citation : rom1504

Tu compte sur 3 génération pour avoir 2C2E donc il te faut aussi 3 génération pour le sénégalais, qui est alors 4S et pas 2S.Et là on retrouve le problème

Non. ça implique juste que 2c2e a un enfant avec quelqu'un qui est de la même génération que ses parents, ce qui n'a rien d'impossible.

Typhon

@ typhoeus

Pour toi, un individu nSkCpE et un individu xSyCzE donnent un individu(n+x)S(k+y)C(p+z)E. Et pour toi, ces chiffres (n,k, p etc.) sont proportionnels à la "sénégalité", la "chinoisité" ou l'espagnolité du sujet. Et c'est ça qui est faux.

En effet, selon ton raisonnement, si on a deux S (première génération) qui font un enfant, ils donneront un 2S. Ce 2S c'est quoi? un "super sénégalais"? Comment ça se fait qu'il soit "plus" sénégalais que ses parents? Parce que dans les faits il sera "plus" sénégalais que ses parents puisque si ce 2S se marie avec un C, il donnera un 2S1C, donc quelqu'un de plus sénégalais que chinois. Comment se fait-il qu'il transmette sa "sénégalité" plus facilement que son conjoint C n'a transmis sa "chinoisité"?
C'est pour éviter ce genre de paradoxe qu'il est plus naturel de penser que l'on hérite que de la moitié du sang de ses parents.

Citation : CyrilleTelmer

@ typhoeus

Pour toi, un individu nSkCpE et un individu xSyCzE donnent un individu(n+x)S(k+y)C(p+z)E. Et pour toi, ces chiffres (n,k, p etc.) sont proportionnels à la "sénégalité", la "chinoisité" ou l'espagnolité du sujet. Et c'est ça qui est faux.

Non, ce n'est pas faux.

Citation

En effet, selon ton raisonnement, si on a deux S (première génération) qui font un enfant, ils donneront un 2S. Ce 2S c'est quoi? un "super sénégalais"? Comment ça se fait qu'il soit "plus" sénégalais que ses parents?

C'est ma manière de définir les données du problème en termes mathématiques.
Je n'ai pas besoin de me demander ce que ça veut dire "en réalité", pour les deux raisons suivantes :

1- C'est un problème de mathématiques. Les mathématiques n'ont pas besoin de base concrète.

2- Dans la vraie vie, on n'hérite pas du "sang" de ses parents. Ça n'a absolument aucune réalité concrète, ça a un sens purement symbolique, qui a largement fluctué avec l'évolution de la société et de la vision qu'on pouvait avoir sur la part de l'un et de l'autre sexe dans la procréation.

Citation

C'est pour éviter ce genre de paradoxe qu'il est plus naturel de penser que l'on hérite que de la moitié du sang de ses parents.

Il est plus "naturel" de penser que la somme d'un nombre infini de termes n'a jamais de résultat fini, il est plus "naturel" de penser que chaque nombre est un entier ou une fraction d'entiers... Ça veut dire quoi, "naturel", en maths ?

Typhon

Thyphoeus

Mais ta façon de décrire le problème te contredit toi même.

Tu as dit
" (on est un quart hongrois quand on a une grand-mère hongroise sur les quatres grand-parents, par exemple)."

Pourtant, en suivant ton raisonnement si un 4S se marie avec un SC, ça donne un 5S1C, soit quelqu'un de 1/6 Chinois. Or, ce 5S1C à deux parents 4S et SC, donc quatre grands parents: 2S, 2S (les parents de 4S) S et C (les parents de SC). En d'autres termes, ses quatre grands parents sont 3 sénégalais (2S, 2S, S) et 1 Chinois (C). Il a un grand parent sur quatre qui est chinois, et pourtant il n'est qu'un sixième chinois.

Citation : Typhoeus

2- Dans la vraie vie, on n'hérite pas du "sang" de ses parents. Ça n'a absolument aucune réalité concrète, ça a un sens purement symbolique, qui a largement fluctué avec l'évolution de la société et de la vision qu'on pouvait avoir sur la part de l'un et de l'autre sexe dans la procréation.

L'enfant hérite de la moitié du patrimoine génétique de chacun parent.

Citation : CyrilleTelmer

Pourtant, en suivant ton raisonnement si un 4S se marie avec un SC, ça donne un 5S1C, soit quelqu'un de 1/6 Chinois. Or, ce 5S1C à deux parents 4S et SC, donc quatre grands parents: 2S, 2S (les parents de 4S) S et C (les parents de SC). En d'autres termes, ses quatre grands parents sont 3 sénégalais (2S, 2S, S) et 1 Chinois (C). Il a un grand parent sur quatre qui est chinois, et pourtant il n'est qu'un sixième chinois.

Justement t'as pas compris. Dans mon raisonnement, je ne tiens compte que de la population à une génération donnée, et je calcule à partir de ça.

Quand je prend l'exemple du type qui a une grand-mère hongroise, je ne remonte pas au-delà, pour savoir si cette hongroise avait des ancêtres roumains, ou si on trouve des hongrois ailleurs sur une autre branche de ses ascendants. Je définis les grands parent comme étant la génération à prendre en compte, et puis c'est tout. Je pourrais faire ça avec les parents, les arrière-grand-parents, ça ne changerai rien. L'important, c'est de ne pas se mélanger les pinceaux.

Dans l'exemple que tu donnes, les grand-parents ne sont pas la première génération, et parmi eux il n'y a pas trois sénégalais, il y en a un, et deux "double-sénégalais".

Pour être plus clair, je pars d'une "population originale" (en l'occurrence, dans le problème, les gens qui ne sont pas nés sur l'île), et je calcule le degré d'appartenance en me basant sur la fraction d'ancêtre appartenant à cette population originale sans me préoccuper des échelons intermédiaires.

Si tu avais mis explicitement dans le problème que l'ethnie de l'enfant E c'est 1/2 de celle du père, et 1/2 de celle de la mère, ça marcherait pas. Mais comme ça ne fait pas partie explicitement de ton énoncé, je peux parfaitement définir l'ethnie de l'enfant comme celle du père, plus celle de la mère.

Citation : rom1504

L'enfant hérite de la moitié du patrimoine génétique de chacun parent.

Patrimoine génétique subdivisé en 23 paires de chromosomes dont chacun a une chance sur deux de se retrouver dans le patrimoine génétique de la génération suivante, ce qui fait, si je me goure pas, <math>\(2^{23}\)</math> patrimoines génétiques possibles pour un gamète (et il faut deux gamètes pour faire un être humain). Autant dire que c'est plus compliqué.

Mais ça n'a absolument aucun rapport avec le problème, en l'occurrence, puisque l'ethnicité n'est pas génétique.

Typhon

Typhoeus.. tu es du genre chiant toi non ?

Il a en effet omis (malheurs à lui ... Lapidez le... Au bucher !... pendez le par les pieds ! ) de precise le principe des 1/2par parents.

Si tu viens sur ce sujet uniquement pour faire ton malin en faisant remarquer cela... je pense que ton intervention est plus qu'inutile !

Citation : Typhoeus

Quand je prend l'exemple du type qui a une grand-mère hongroise, je ne remonte pas au-delà, pour savoir si cette hongroise avait des ancêtres roumains, ou si on trouve des hongrois ailleurs sur une autre branche de ses ascendants. Je définis les grands parent comme étant la génération à prendre en compte, et puis c'est tout. Je pourrais faire ça avec les parents, les arrière-grand-parents, ça ne changerai rien. L'important, c'est de ne pas se mélanger les pinceaux.

Alors tu t'embrouille quand tu dis ça :

Citation : Typhoeus

Citation : rom1504

Tu compte sur 3 génération pour avoir 2C2E donc il te faut aussi 3 génération pour le sénégalais, qui est alors 4S et pas 2S.Et là on retrouve le problème

Non. ça implique juste que 2c2e a un enfant avec quelqu'un qui est de la même génération que ses parents, ce qui n'a rien d'impossible.

Typhon

Tu ne considère pas la même génération. Ce que tu appelle génération c'est quelque chose qui dépend du temps hors ça ne dépend pas du temps pour ce problème.

Citation : Typhoeus

Citation : rom1504

L'enfant hérite de la moitié du patrimoine génétique de chacun parent.

Patrimoine génétique subdivisé en 23 paires de chromosomes dont chacun a une chance sur deux de se retrouver dans le patrimoine génétique de la génération suivante, ce qui fait, si je me goure pas, <math>\(2^{23}\)</math> patrimoines génétiques possibles pour un gamète (et il faut deux gamètes pour faire un être humain). Autant dire que c'est plus compliqué.

Mais ça n'a absolument aucun rapport avec le problème, en l'occurrence, puisque l'ethnicité n'est pas génétique.

Typhon

Oui bien sur il y a plein de possibilité mais ça reste la moitié de chaque ( il y a plein de moitié différente pour chaque parent ).
Tu dis que ça n'a aucun rapport avec le problème, sauf que ça n'a à la base aucun sens de considérer si on est plus chinois ou plus sénégalais si on ne considère pas les différences génétiques qu'il y a ( qui ne sont pas énorme bien sur ). Si tu considère que c'est une question de culture qu'est ce qui empêche un enfant de chinois et de sénégalais de ne choisir que la culture chinoise pour une raison ou une autre ?

Citation

Tu ne considère pas la même génération. Ce que tu appelle génération c'est quelque chose qui dépend du temps hors ça ne dépend pas du temps pour ce problème.

Ce que j'appelle génération, c'est la distance entre un individu et la population originale. Si on considère que les gens qui sont arrivés sur l'île forment la génération 0, leurs enfant sont la génération 1, et les enfants de ces enfants la génération 2. Sachant qu'on ne se marie pas forcément dans sa génération, je ne vois pas où est le problème.
Dans la solution que je donne, il y a un enfant qui est de la troisième génération par un côté, et de la deuxième par l'autre côté.

Citation : Typhoeus

Tu dis que ça n'a aucun rapport avec le problème, sauf que ça n'a à la base aucun sens de considérer si on est plus chinois ou plus sénégalais

Mais on s'en moque du sens, c'est un problème de maths.

Typhon

Citation

Quand je prend l'exemple du type qui a une grand-mère hongroise, je ne remonte pas au-delà, pour savoir si cette hongroise avait des ancêtres roumains, ou si on trouve des hongrois ailleurs sur une autre branche de ses ascendants. Je définis les grands parent comme étant la génération à prendre en compte, et puis c'est tout. Je pourrais faire ça avec les parents, les arrière-grand-parents, ça ne changerai rien. L'important, c'est de ne pas se mélanger les pinceaux.

D'accord, je vois ce que tu veux dire, mais toujours est-il que tu ne raisonne pas tout à fait pareil dans le cas de la grand mère hongroise que dans le cas du problème qui nous intéresse. En effet, quand tu dis,"je remonte jusqu'aux grand parents", tu comptes les générations à partir de l'enfant, et tu remontes de n générations (ici de 2), après quoi tu comptes le nombre de hongrois. Donc tu remontes du même nombre dans toutes les branches de l'arbre. Donc en disant "je remonte jusqu'à la génération des grand parents", tu donne implicitement une définition de la génération à partir de l'enfant (du petit fils). Le petit fils est la génération k, les parents la génération k-1, et les grands parents la génération k-2.

Cela est en contradiction avec ce que tu dis par la suite:

Citation

Ce que j'appelle génération, c'est la distance entre un individu et la population originale. Si on considère que les gens qui sont arrivés sur l'île forment la génération 0, leurs enfant sont la génération 1, et les enfants de ces enfants la génération 2.

Ici, tu définis les générations à partir du groupe des premiers arrivants. Donc tu ne raisonne pas de la même façon que dans le cas de la grand mère hongroise, puisqu'au lieu de dire, "je remonte 2 générations jusqu'aux grands parents" (ce qui fait que tu remonte de 2 dans toutes les branches), tu dis "je remonte dans chaque branche au maximum, en prenant soin de ne pas dépasser le groupe des premiers arrivants", ce qui fait que tu ne remonte pas du même nombre dans toutes les branches.

Mon premier exemple n'était tout simplement pas assez précis. J'aurais du partir de quatre personnes et définir les générations suivantes à partir de là, sinon ça ne fait pas un exemple du raisonnement que j'utilise.

Effectivement, si on remonte du même nombre dans toutes les branches de l'arbre, on ne peut jamais obtenir un individu qui a autant d'ancêtres dans chaque groupe, puisque dans chaque génération examinée, le nombre de personne est une puissance de deux.


Typhon

Citation : Typhoeus

Mais on s'en moque du sens, c'est un problème de maths.

C'est avec le sens qu'on peut interpréter comme il faut le problème, si on ne réfléchit pas juste parce que "c'est un problème de maths" on peut dire tout et n'importe quoi.

Citation : rom1504

Citation : Typhoeus

Mais on s'en moque du sens, c'est un problème de maths.

C'est avec le sens qu'on peut interpréter comme il faut le problème, si on ne réfléchit pas juste parce que "c'est un problème de maths" on peut dire tout et n'importe quoi.

Justement non, c'est si on se mettait à chercher une signification concrète à ce problème que ça deviendrait problématique.

Typhon

Effectivement, si j'ai donné au problème l'univers d'une ile déserte, dans le contexte d'un crash d'avion, c'est pour éviter de répondre à un certains nombres de questions que les gens qui compliquent tout se posent souvent:

-Est-ce qu'on doit prendre en compte la génétique?
-Qu'est-ce qui génétiquement fait qu'un chinois est un chinois?
-On hérite pas forcément d'un quart des gènes d'un grand parent même si on hérite forcément de la moitié des gènes d'un parent.

Et là le problème devient philosophique alors que ce n'est pas du tout son objectif. Quand j'ai pensé le problème, je l'ai pensé de façon généalogique, pas génétique.
Mais je n'aurais jamais cru que quelqu'un proposerait de ne pas remonter du même nombre dans dans toutes les branches de l'arbre. Je ne vois pas du tout pourquoi faire ça. L'approche généalogique ne correspond pas exactement à l'approche génétique (donc concrète) mais celle de Typhoeus en est encore plus éloignée.

Citation : CyrilleTelmer

Et là le problème devient philosophique alors que ce n'est pas du tout son objectif. Quand j'ai pensé le problème, je l'ai pensé de façon généalogique, pas génétique.
Mais je n'aurais jamais cru que quelqu'un proposerait de ne pas remonter du même nombre dans dans toutes les branches de l'arbre. Je ne vois pas du tout pourquoi faire ça.

Parce que remonter plus loin que la première génération sur l'île déserte conduit à demander des informations sur les ancêtres de cette génération, et ça complique le schmilblick. Ça conduit à devoir affirmer que les ancêtres d'un chinois sont forcément tous chinois.

A contrario, si on considère arbitrairement que le groupe d'arrivant sur l'île est divisé en trois sans se poser plus de questions, et qu'on cherche une descendance qui combine les trois, on n'a jamais besoin d'affirmer quoi que ce soit, et on n'a pas besoin d'autre information que celle qui est donnée dans l'énoncé original.

Typhon