Bonjour à tous, je suis en train de faire un exercice sur les polynômes et je bloque à une question, voici les données que l'on me donne :

f(x) = 2x³ + 7x² + 2x - 3

Dans un premier temps, on m'a demandé de calculer f(-1), j'ai trouver que le résultat était égal à 0 mais maintenant on me demande de deduire de la première question que f(x) peut s'écrire pour tout nombre réel x sous la forme :

f(x) = (x + 1)(ax² + bx + c) où a,b et c sont trois nombres réels que l'on déterminera.

On me demande ensuite de résoudre dans R l'équation f(x) = 0.

Et là honnêtement je suis perdu J'espère que vous pourrez me donner un coup de pouce

Pour déterminer a, b, c tu développes l'expression avec tes inconnues, et tu identifies avec les coefficiants de ta fonction polynomiale.

Ensuite pour résoudre tu partiras du principe que si xy=0 pour x, y réels alors soit x soit y vaut 0.

Citation : L01c

Pour déterminer a, b, c tu développes l'expression avec tes inconnues, et tu identifies avec les coefficiants de ta fonction polynomiale.

Ensuite pour résoudre tu partiras du principe que si ab=0 pour a, b réels alors soit a soit b vaut 0.

J'ai pas très bien compris, peux-tu être plus précis?

Ben je peux pas non plus te faire l'exercice car ça ne sert à rien.

Tu sais que -1 est racine de ton polynôme donc ça veut dire que x+1 divise ton polynôme, donc ton polynôme s’écrit x+1 fois quelque chose, ce quelque chose est forcément de degré 2.
Pour trouver les coefficients de ce polynôme de degré 2 (disons g) tu calcules littéralement x+1 fois ce polynôme et tu identifies avec les coefficiants de f, en effet deux polynômes sont égaux ssi ils ont mêmes coefficients.

Ensuite une fois fini tu auras f=(x+1)g si tu as f(x)=0 alors soit x+1=0 soit g(x)=0.


PS (pour les puristes) : Oui j'ai confondu polynômes et fonctions polynomiales et non cela n'a aucune importance ici.

Euh je crois que je vais passer la question parce que là je suis à 1000 lieux de comprendre tout ça

Je pense que si tu prenais une grande inspiration, une feuille et un crayon tu te rendrais compte que c'est largement faisable.

C'est ce que je fais depuis ce matin mais je peux pas passer toute la journée dessus, j'en ai beaucoup à faire J'ai fait la grosse erreur de pas bosser cette année et maintenant je le paie ...

Bon ben dans commence juste à développer (x+1)(ax^2+bx+c)

Citation : L01c

Bon ben dans commence juste à développer (x+1)(ax^2+bx+c)

En développant, je trouve f(x) = ax³ + (a+b)x² + (b+c)x + c

Je suis sur la bonne voie?

Voila maintenant cette expression tu voudrais qu'elle soit égale à 2x³ + 7x² + 2x - 3 non ?
Est-ce que tu peux pas déterminer a, b, et c comme ça ?

Citation : L01c

Voila maintenant cette expression tu voudrais qu'elle soit égale à 2x³ + 7x² + 2x - 3 non ?
Est-ce que tu peux pas déterminer a, b, et c comme ça ?

Je trouve a = 2 ; b = 5 ; c = -3, là je pense que je suis dans le bon non?

Bien.
Donc maintenant si f(x)=(x+1)(2x^2+5x-3)=0 Tu as un produit de deux terme qui fait 0, tu peux pas dire que l'un des deux au moins est nul ?
Donc tu as soit machin=0 soit truc=0. Dans les deux cas ne peut-tu pas résoudre l'équation ?

Citation : L01c

Bien.
Donc maintenant si f(x)=(x+1)(2x^2+5x-3)=0 Tu as un produit de deux terme qui fait 0, tu peux pas dire que l'un des deux au moins est nul ?
Donc tu as soit machin=0 soit truc=0. Dans les deux cas ne peut-tu pas résoudre l'équation ?

Euh si je dis que x = -1, la première parenthèse vaut 0 donc f(-1) = 0, non? Là j'ai un peu plus de doutes sur cette étape

Ok et maintenant la deuxième parenthèse ?

une équation de degré n admet toujours n solution(s)... (parfois multiple)..

Donc ici, tu as trouvé l'une des 3 solutions (x=-1) en annulant la première partie de ton équation...

En annulant la 2e partie de ton équation (qui est une équation du second degré) tu devrais réussir à trouver les 2 solutions restantes...

Citation : Seba991

une équation de degré n admet toujours n solution(s)... (parfois multiple)..

C'est faux en général.

Par exemple sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>, le polynôme X²+1 n'a pas de racine

En tous cas c'est toujours vrai dans une cloture algébrique

Citation : Tadzoa

Citation : Seba991

une équation de degré n admet toujours n solution(s)... (parfois multiple)..

C'est faux en général.

Par exemple sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>, le polynôme X²+1 n'a pas de racine

C étant plus général que R, c'est bien vrai en général... dans le cas particulier de R, c'est faux en effet
sur C, tu as les 2 solution "i" et "-i" ... Mais bon... on sort du sujet là

Citation : L01c

En tous cas c'est toujours vrai dans une cloture algébrique

Je ne sais même pas ce qu'est un cloture algébrique lol

Ben quant tu prends un corps dont les polynômes n'ont pas tous de racines tu peux démontrer qu'il existe toujours un autre corps contenant le premier qui soit algébriquement clos.
L'avantage c'est que dans ce corps c'est la fête (oui on va danser ), vu qu'on peut scinder tout polynôme.

Citation : Seba991

C étant plus général que R, c'est bien vrai en général... dans le cas particulier de R, c'est faux en effet

C'est faux et archi-faux... Il n'y a pas d'ensemble "plus général", et la notion de généralité ne dépend pas du nombre d'éléments, de la dimension, ou de je ne sais quoi, mais c'est lorsque c'est valable pour tout "type" d'élément.

Par exemple, la propriété est valable pour toute clôture algébrique, mais est fausse en général dans le cas d'un corps.

Citation : Seba991

Citation : Tadzoa

Citation : Seba991

une équation de degré n admet toujours n solution(s)... (parfois multiple)..

C'est faux en général.

Par exemple sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>, le polynôme X²+1 n'a pas de racine

C étant plus général que R, c'est bien vrai en général... dans le cas particulier de R, c'est faux en effet
sur C, tu as les 2 solution "i" et "-i" ... Mais bon... on sort du sujet là

Par général j'entends "sans plus de précision"

bonjour ,
@designer53 cet exercice est assez classique :
par contre la solution est trés simples

bon

f(x) = 2x³ + 7x² + 2x - 3



1/f(-1)=0; c'est simple...
2/ puisque f(-1)=0; et f(x) est une fonction de 3éme degré donc on peut l'écrire sous la forme :
f(x)=(x-(-1))*(ax²+bx+c)=(x + 1)*(a² + bx + c);
on dit aussi que f(x) est factorisable par -1 :).
pour identifier les variable a,b,c ilya plusieurs méthodes bon la plus simple c'est la méthode par identification(d’après moi) :
on a f(x)=(x + 1)*(ax² + bx + c);
=ax³+bx²+cx+ax² + bx + c; non ?
=ax³+(a+b)x² + (c+b)x + c;
voila donc il est sous la forme ax³+bx²+cx+d :
(par identification
f(x)=ax³+(a+b)x² + (c+b)x + c;
f(x)= 2x³ + 7x² + 2x - 3

<math>\(===> a=2; a+b=7; c+b=2; c=-3;\)</math>

par un simple système tu pourra déterminer les variables inconnus à vous de jouer..
<math>\(===>b=5;voila a=2;b=5;c=-3\)</math>
enfin f(x)=(x + 1)(2x² + 5x -3)

;)) bon courage

T'as pas l'impression qu'il déjà fait tout ça ?

Bonsoir,
@marwen109
Il me semble que designer53 en était déjà arrivé là 8 posts plus haut!

Bon , c'est vrai la tentative de Tadzoa de l'orienter vers la résolution de l'équation du second degré a été déviée par un débat parallèle intempestif pour lui ( je ne crois pas que la notion de corps clos soit sa préoccupation)

Maintenant je laisse aux plus pédagogues que moi le soin de poursuivre/

bonsoir,
puisque le sujet n'est pas marqué comme résolu !
mais je lui donne la démarche
^_^

Bonsoir,
Je viens de passer le sujet en résolu pour éviter que la réponse ne soit donnée une troisième fois (même si la dernière était, il me semble, plus complète).
Si ton problème n'est pas résolu, modifie le statut du topic. Dans l'autre cas, penses la prochaine fois à marquer la résolution du souci car il est alors plus facile pour tout le monde de s'y retrouver.

Cordialement,
Urocyon