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Les suites (1ere S et TS)

demonstration par récurrence et limites

Sujet résolu
    28 avril 2019 à 15:45:20

    Bonjour, 

    Je vous remercie pour l'aide que vous pourrez m'apporter. Je précise que j'ai un bas niveau (3ème parfois seconde) en maths et que je suis actuellement des cours à distance avec une prof inexistante et pratiquement sans cours (niveau 1ere S et TS). Je cherche donc mes solutions sur youtube donc c'est pas toujours facile, merci d'être compréhensif. 
    Cette exercice n'est pas noté mais je veux le résoudre pour me préparer à mon examen.  

    J'ai l'énnoncé suivant : On defini la suite numérique (un) par u0 = 10 et pour tout n appartenant à N, Un+1 = 1/2(Un+2) 

    Il ya plusieurs questions que je n'arrive pas à resoudre : 

    1) Montrer que pour tout entier naturel n : Un>=0

    J'ai vu sur internet qu'il existait un concept de résolution par reccurrence. Est ce bien cela que je dois utiliser ? J'ai déjà vu avec differents calculs que la suite tendais vers 2 et ne descendais jamais plus bas, mais à mon avis ça ne suffit pas pour demontrer et on attends une réponse plus détaillée. J'ai donc tenté d'utiliser cette méthode de démonstrtation par reccurence mais je n'y arrive pas. Je trouve pour mon initialisation que U0 >= 0 puisque U0 = 10. 

    Mais pour la suite je ne sais pas comment faire. J'ai compris qu'il fallait prouver que cela était vrai pour n+1 et donc vrai pour n, mais je ne comprend pas si je dois choisir une valeur de n au hasard ? ni comment procéder. 

    2) déduire que la suite un convergente et determiner sa limite. 

    Je sais que sa limite est 2 (merci la TI Nspire), mais je ne connais pas la formule pour la retrouver. Il ya trop de formule sur internet et je ne comprend pas quand utiliser laquelle ou lesquelles etc... Pouvez vous m'aiguiller sur la manière à adopter pour trouver la limite (surtout pour ce cas). Apres j'ai défini qu'elle était convergente car minorée par 2 et décroissante, mais c'est pareille, je le sais mais je l'ai pas demontré. Existe il une demonstration à faire ? 

    3) On ne me le demande pas du tout, mais comme je veux faire un test pour prouver que la suite est décroissante en utilisant q, pouvez vous me donner la formule pour trouver q dans cette situation précise. J'ai defini que q = 1/2*2 mais je suis vraiment pas sure de mon coup, et de toute les manieres je n'arrive pas à le definir dans d'autres situtation. J'ai la formule Un = U0 *q^n mais elle m'a donné une valeur qui ne me plait pas.  

    Je vous remercie pour votre aide précieuse, qui pourra m'aider à avancer dans mon apprentissage sans prof et surtout sans cours. 

    Bon dimanche !! 

    Marion 

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      28 avril 2019 à 18:44:45

      Une démonstration par récurrence est effectivement adaptée, mais il y a un problème sur la compréhension de la récurrence.

      Je cite : J'ai compris qu'il fallait prouver que cela était vrai pour n+1 et donc vrai pour n

      Non, c'est mal formulé.

      La propriété qu'on veut démontrer , c'est que tous les termes sont positifs.

      Il faut vérifier que c'est vrai pour n=0. Ca, c'est ok.

      Ensuite on dit : supposons que la propriété est vraie pour k donné. Et montrons qu'alors, la propriété est également vraie pour k+1.

      K est indéterminé, on ne doit pas choisir k au hasard , on ne doit pas le choisir du tout.

      Si U(k) est positif, alors U(k)>0 ; Comme  U(k+1) = 1/2 ( U(k)+2)  et qu'on a supposé que U(k) était supérieur à 0, U(k+1) est donc supérieur 1/2(0+2), et ce nombre vaut 1.

      Donc, si U(k) est supérieur à 0, U(k+1) est également supérieur à 0. Il est même supérieur à 1 d'après le calcul précédent, mais pour nous, ce qui nous intéresse c'est qu'il est supérieur à 0.

      La propriété est donc démontrée.

      Quelle est la logique derrière tout ça ? 

      On a montré 2 choses :

      - le premier terme de notre suite est positif.

      - Si un terme de notre série est positif, alors le suivant est également positif.

      Du coup, par effet 'boule de neige' , tous les termes sont positifs. En maths, on ne dit pas par effet 'boule de neige', mais par 'récurrence'. Mais l'idée est la même. 

      Au milieu du message, j'ai introduit une variable k. A la place de k, j'aurais pu garder n. J'ai choisi une lettre différente, juste pour mettre l'accent sur le fait que c'est une valeur quelconque.

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        28 avril 2019 à 23:25:13

        Super merci pour ta reponse. Je suis plus devant mes exos mais je vais essayer de l appliquer pour voir si j'ai compris déjà ce concept. Je sais pourquoi ce truc me perturbe en fait, ça existe bien les suites qui renvoient des valeurs de u alternees non  ?  

        On est donc ok pour dire que la démonstration par recurrence ne peux se faire qu'à partir du moment où on a defini que c'était une suite arithmétique ou geometrique  ?  Parceque tous ce que j'ai regardé sur internet je me suis dit mais leur démonstration elle prouve rien du tout lol. 

        Merci  !! 

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          29 avril 2019 à 0:12:06

          Ici la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique... et pourtant, on peut faire une démonstration par récurrence, donc la réponse à ta question est non.
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            29 avril 2019 à 11:00:33

            tbc92 a écrit:

            Une démonstration par récurrence est effectivement adaptée, mais il y a un problème sur la compréhension de la récurrence.

            Je cite : J'ai compris qu'il fallait prouver que cela était vrai pour n+1 et donc vrai pour n

            Non, c'est mal formulé.

            La propriété qu'on veut démontrer , c'est que tous les termes sont positifs.

            Il faut vérifier que c'est vrai pour n=0. Ca, c'est ok.

            Ensuite on dit : supposons que la propriété est vraie pour k donné. Et montrons qu'alors, la propriété est également vraie pour k+1.

            K est indéterminé, on ne doit pas choisir k au hasard , on ne doit pas le choisir du tout.

            Si U(k) est positif, alors U(k)>0 ; Comme  U(k+1) = 1/2 ( U(k)+2)  et qu'on a supposé que U(k) était supérieur à 0, U(k+1) est donc supérieur 1/2(0+2), et ce nombre vaut 1.

            Donc, si U(k) est supérieur à 0, U(k+1) est également supérieur à 0. Il est même supérieur à 1 d'après le calcul précédent, mais pour nous, ce qui nous intéresse c'est qu'il est supérieur à 0.

            La propriété est donc démontrée.

            Quelle est la logique derrière tout ça ? 

            On a montré 2 choses :

            - le premier terme de notre suite est positif.

            - Si un terme de notre série est positif, alors le suivant est également positif.

            Du coup, par effet 'boule de neige' , tous les termes sont positifs. En maths, on ne dit pas par effet 'boule de neige', mais par 'récurrence'. Mais l'idée est la même. 

            Au milieu du message, j'ai introduit une variable k. A la place de k, j'aurais pu garder n. J'ai choisi une lettre différente, juste pour mettre l'accent sur le fait que c'est une valeur quelconque.


            tbc92 a tout dit. Pour avoir une intuition visuelle, on peut penser à des dominos.
            Si un domino quelconque tombe, le suivant tombe (c'est l'hypothèse de récurrence). Si le premier domino tombe, alors par effet boule de neige (ou domino :p), tous les dominos tombent.
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              29 avril 2019 à 19:00:48


              Ok donc je ne comprend pas du tout alors, car si une suite n'est pas forcément seulement croissante ou décroissante sur tout le long, je vois pas comment on peut prouver avec cette méthode. ça ne peut que nous induire en erreur ? 

              Merci en tous cas pour ton explication car j'ai compris comment procéder. Je pense que je n'ai pas assez de recul sur les suites et que je ne visualise pas tout. 

              Je laisse tomber ce cours malheureusement, c'est c'est trop d’énergie dépensé pour si peu de résultat. Je n'arrive plus à travailler des notions inconnues toute seule devant un écran, dans un flou artistique total. 

              Je met donc le sujet résolu. Merci cependant pour votre aide. 

              Marion

              Marion

              -
              Edité par marioonb 29 avril 2019 à 19:12:53

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                29 avril 2019 à 19:55:39

                Les mots sont précis. Tu disais : 'Les démonstrations par récurrence ne marchent que pour les suites arithmétiques ou géométriques.' J'ai répondu non.

                Maintenant, tu parles de suites croissantes ou décroissante. C'est différent. On peut avoir des suite croissantes (ou décroissantes) qui ne sont pas géométriques ni arithmétiques. On peut avoir des suites géométriques qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes. A peu près toutes les combinaisons sont possibles.

                Pour comprendre le principe des démonstrations par récurrence, il faut retenir l'image 'boule de neige', (ou domino, comme suggéré par Cvanaret) : Si je sais que chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, et si le premier domino tombe, alors tous les dominos tombent.  C'est exactement ça l'idée de la démonstration par récurrence.

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                  29 avril 2019 à 21:46:32

                  même si marioonb a mis en résolu, plus par renoncement il est vrai, l'énoncé du problème me semble étrange sinon mal recopié.

                  La première question est  très simple, montrer que \(u_n\) est positif, 

                  la deuxième question "déduire que la suite converge et en déterminer la limite"   laisse alors  supposer que on peut "déduire" la convergence et trouver la limite du simple fait que \(u_n>0\) ... ce qui me parait hors de portée même pour un Bac+5, option maths fondmentales en utilisant cette seule propriété de positivité. :lol:

                    La suite que on peut écrire \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n +1\) ,de la forme\(u_{n+1}=au_n +b\)  est donc arithmético-géométrique.
                  Si on a étudié en cours la réponse de la convergence et limite est évidente, sinon ce n'est pas l'étape 1 \(u_n>0\)  qui va aider un élève moyen à trouver sans autre indication la réponse.
                  D'ailleurs \(u_n \) toujours positif n'est en rien une exigence pour la convergence et suivant les valeurs des coefficients les premiers termes peuvent très bien être positif et la limite négative ! Selon la valeur de \(a\) il est aussi évident que \(u_n\) peut être toujours positif et la suite divergente !

                  -
                  Edité par Sennacherib 29 avril 2019 à 21:48:32

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                  tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
                    3 mai 2019 à 10:39:19

                    Je dirais surtout que c'est une erreur de copie, parce que dans sa phrase, il manque au moins un mot ^^

                    A moins qu'il y ait également des questions intermédiaires du genre 1.a, 1.b, 1.c avant de passer à la 2.

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                      4 mai 2019 à 13:29:39

                      Bonjour, 

                      Je n'ai pas mis toutes les questions en effet, j'a mis que ce que je n'arrivais pas à résoudre... j'ai fini par le résoudre quand même parceque j'ai trop travailler pour laisser tomber mais après je sais pas si c'est bon mais j'aurai au moins essayé : 

                      Je ne sais même pas ce qu'on a étudier en cours car ce ne sont que des diapo sans explications, je ne lis même plus les cours de cette prof mais si je me fis à votre aide et aux vidéos youtube, j'ai fini par trouver ça. 

                      A part par vous, je n'aurai jamais la réponse si ceci est bon ou faux car elle ne nous donne pas les corrigés, voila voila !!  

                      Merci pour vos réponses en tous cas !! 

                      Marion 

                      -
                      Edité par marioonb 4 mai 2019 à 13:33:58

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                        4 mai 2019 à 14:29:14

                        La toute 1ère question n'est pas bonne. On te demande de prouver que la suite est décroissante.  Décroissante, ça veut dire U2<U1, U3<U2, U4<U3 , etc etc etc ... Donc un ou 2 calculs sur quelques cas particuliers, ça ne suffit pas. Ic, tu as montré que U2<U1  Mais ça ne suffit pas.

                        Imagine une suite qui vaut alternativement  1 et 0  : U1=1, U2=0, U3=1, U4=0, etc etc 

                        Cette suite n'est pas décroissante. Et pourtant, avec tes arguments,  (U2<U1 donc la suite est décroissante), tu aurais démontré que la suite est décroissante.

                         Je n'ai pas regardé les questions suivantes.

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                          4 mai 2019 à 14:57:56

                          "Si on calcule les termes suivants, on se rend compte que la suite tend vers 2, elle ne descend jamais en dessous de 2 et commence par 10, elle est donc toujours >= 0".

                          Faut pas exagérer non plus. C'est pas en calculant les 3 premiers termes que tu te rends compte de quoi que ce soit. C'est pas une preuve de dire "on se rend compte".
                          Si ça se trouve, \(u_{1000}\) est négatif, et ta déclaration tombe à l'eau. Ta seule option, c'est de le prouver (effectivement par récurrence).

                          La partie récurrence n'est pas très bien rédigée. Voilà à quoi ça peut ressembler :

                          Notons \(H(n)\) l'hypothèse de récurrence : "\(u_n \ge 0\)".
                          Prouvons par récurrence que \(H(n)\) est vraie pour tout \(n \ge 0\).
                          - initialisation (\(n = 0\)) : \(u_0 = 10 \ge 0\). \(H(0)\) est vraie.
                          - hérédité : montrons que \(H(n) \Rightarrow H(n+1)\), ie si \(H(n)\) est vraie, alors \(H(n+1)\) l'est aussi.
                          Soit \(n \ge 0\) (c'est un \(n\) quelconque !) et supposons \(H(n)\) vraie, ie \(u_n \ge 0\) (hypothèse de récurrence).
                          Alors \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1 \ge 0 + 1\) (hypothèse de récurrence), soit finalement \(u_{n+1} \ge 1 \ge 0\). On a donc \(H(n+1)\) vraie.
                          Par récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n \ge 0\).

                          Pour la convergence, pas la peine de s'éparpiller en "puisqu'elle ne peut descendre en dessous...". Suffit de dire que la suite est décroissante et minorée par 0, donc théorème machin dit que la suite converge.

                          Pour le calcul de la limite, tu nous as fait un tour de passe-passe à base de "2 erreurs qui se compensent". Le \(\frac{1}{3}\) est en fait un \(\frac{1}{2}\).

                          -
                          Edité par cvanaret 4 mai 2019 à 15:02:50

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                            4 mai 2019 à 17:13:42

                            1) je n'ai jamais dit que c'etait une preuve, sinon je n'aurai pas demontré, je dis juste ce que je vois, comme c'est pour moi perso, ça me permet de me mettre des notes à moi même.

                            2) idem, je le note pour moi pour m'en resservir pour d'autres exo et bien integrer. et je n'ai pas mis qu'elle est minorée par 0 car pour moi elle est minorée par 2. Du coup je ne savais pas qu'on pouvais dire qu'elle etait aussi minorée par 0. je pensais que le terme minorée etait que pour la limite. Comme je l'ai dit j'apprends toute seule donc je m'engage que ce que dans ce que j'ai compris. 

                            3) lol j'ai pas fait un tour de passe passe j'ai melangé 2 exos et je me suis trompée avec en mettant 1/3 (pb de copié coller) si ça me donnait pas le mem resultat je m'en serrai rendu compte. Merci !! du coup j'ai corrigé et ça me donne bien toujours 2. (1/2L = 1) => L = 2

                            -
                            Edité par marioonb 4 mai 2019 à 17:27:48

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                              4 mai 2019 à 22:55:30

                              Le coup de la suite croissante majorée, ou de la suite décroissante minorée (« théorème de convergence monotone »), est un des plus grands classiques de la terminale. En général la majoration/minoration se démontre par récurrence.

                              Dire qu'une suite est majorée par M signifie que tous ses termes sont inférieurs (ou égaux) à M. Il y a donc une infinité de majorants possibles. En particulier, si M est un majorant, tout ce qui est plus grand que M est aussi un majorant. En bac+1, on voit la notion de borne supérieure, qui est le plus petit majorant (le « majorant optimal » en quelque sorte) et qui, lui, est unique.

                              Dire qu'une suite est minorée par m signifie que tous ses termes sont supérieurs (ou égaux) à m. Il y a donc une infinité de minorants possibles. En particulier, si m est un minorant, tout ce qui est plus petit que m est aussi un minorant. En bac+1, on voit la notion de borne inférieure, qui est le plus grand minorant (le « minorant optimal » en quelque sorte) et qui, lui, est unique.

                              Pour appliquer le théorème de convergence monotone, il suffit de trouver un majorant (ou un minorant), pas besoin qu'il soit « optimal ».

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                                5 mai 2019 à 0:21:18

                                marioonb a écrit:

                                1) je n'ai jamais dit que c'etait une preuve, sinon je n'aurai pas demontré, je dis juste ce que je vois, comme c'est pour moi perso, ça me permet de me mettre des notes à moi même.

                                2) idem, je le note pour moi pour m'en resservir pour d'autres exo et bien integrer. et je n'ai pas mis qu'elle est minorée par 0 car pour moi elle est minorée par 2. Du coup je ne savais pas qu'on pouvais dire qu'elle etait aussi minorée par 0. je pensais que le terme minorée etait que pour la limite. Comme je l'ai dit j'apprends toute seule donc je m'engage que ce que dans ce que j'ai compris. 

                                3) lol j'ai pas fait un tour de passe passe j'ai melangé 2 exos et je me suis trompée avec en mettant 1/3 (pb de copié coller) si ça me donnait pas le mem resultat je m'en serrai rendu compte. Merci !! du coup j'ai corrigé et ça me donne bien toujours 2. (1/2L = 1) => L = 2

                                -
                                Edité par marioonb il y a environ 6 heures


                                OK mais si tu mélanges tes notes et tes réponses, dur pour nous de s'y retrouver ;)
                                Je parle de tour de passe-passe, parce que si tu remplaces \(\frac{1}{2}\) par \(\frac{1}{3}\), tu trouves une limite différente. Sauf que tu as fait une 2e erreur (\(1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)) qui a compensé la première.
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