Salut à tous.

J'ai inventé un problème, mais je n'ai pas encore vraiment trouvé la solution.

Alors imaginons des gens qui vivent dans un désert. Ils ont un Village au milieu d'un désert. De temps en temps, ils sortent de leur village et vont se promener. Mais ils aimeraient bien ne pas se perdre. Donc sachant qu'ils ont toujours une carte avec eux, ils aimeraient bien avoir un moyen de pouvoir toujours se repérer, donc pouvoir, à partir de n'importe quel point du désert, se situer sur la carte.
Donc ils ont pensé à un système. Ils vont créer un certain nombre d'avant-postes dans le désert, avec des gens munis de très gros tambours dans ces avant-postes. Ces avant-postes sont répertoriés sur la carte. Les gens des avants postes sont formés pour taper sur le tambour selon un certain code: De façon à ce que quand quelqu'un entend le tambour, il peut:
- Identifier de quel avant poste il s'agit.
- Déterminer à quelle distance se trouve cet avant-poste. (c'est possible si le tambouriste frappe selon différentes intensités. Le type qui écoute, en comptant les coups qu'il est capable d'entendre, déduit la distance à laquelle se trouve le tambour).
En revanche, il ne peut pas:
- Savoir précisément d'ou venait le son, donc déterminer dans quelle direction est le tambour.

Cela étant dit, le problème est le suivant: Comment placer les avant-postes de façon à utiliser un minimum de tambours, et qu'à n'importe quel endroit du désert, il soit possible de se repérer?

En entendant un tambour, on sait qu'on est sur un cercle précis.
En entendant deux tambours, on sait qu'on est sur l'intersection de deux cercles, soit deux points possibles.
En entendant trois tambours, on peut alors savoir où on est.

C'est le principe de la triangulation, utilisé notamment dans les GPS...

rien dit

@ C-j

Oui, mais tout le problème est de savoir quelle est la meilleure façon d'agencer les avants-postes de façon à en utiliser un minimum, et à couvrir le plus de surface possible.

Par exemple si les tambours ont une portée sonore de P km, comment les agencer de façon à ce que la surface couverte (surface couverte étant définie comme la surface à l'intérieur de laquelle il est possible d'entendre au moins trois tambours en tout point) soit maximale.

Ah, désolé, mal compris.
Alors je pense (rapidement) qu'il faudrait les disposer aux sommets des hexagones de côté P d'un réseau d'alvéoles

@ C-j
J'ai essayé le réseau en hexagone, mais en faisant comme ça, ça laisse quelques blancs. Par exemple situe-toi à l'intérieur de l'hexagone. Marque A, et B deux sommets consécutifs, et C le centre de l'hexagone. ABC est équilatéral. L'orthocentre de ABC, selon moi n'est couvert que par deux tambours, A et B. Il en manque un.

Personnellement, le meilleur système que j'aie trouvé pour l'instant ressemble au tien, mais en rajoutant un tambour au centre de l'hexagone. A ce moment, sauf erreur de calcul, je pense qu'avec K tambours, on peut couvrir une aire de K*P²*racine(3/4).
Mais je n'ai pas démontré que c'était le meilleur système possible.

Tout dépend de la taille et de la forme du désert en question ! Mais si l'on suppose un désert infini et qu'on ait une infinité de tambours, alors effectivement un pavage triangulaire est le plus efficace, chaque tambour couvrant une surface de <math>\(\frac{\sqrt3}2P^2\)</math>.

Oui, pardon, considérons un désert infini.

C'est le meilleur système que j'aie trouvé, mais comment savoir si c'est le meilleur tout court? Il doit y avoir une façon de le démontrer.