Salut à toutes et à tous !

J'ai eu le malheur (ou pas) de demander à ma prof de Math des exercices supplémentaires, et maintenant je suis coincé !

J'ai une fonction <math>\(f_n(x)= \frac{(\ln x)^n}{x^2}\)</math> définie pour tout n supérieur ou égal à 1 et pour tout x de l'intervale [1 ; +inf]

On me demande de déterminer sa limite quand x tend vers +inf en remarquant que :
<math>\(f_n(x)= (\frac{\ln x}{x^{\frac{2}{n}}})^n\)</math>

La fraction entre parenthèses tend vers 0 quelque soit la valeur de n, mais je ne sais pas comment monter ça.
J'ai tenté d'utiliser la limite remarquable de <math>\(\frac{\ln x}{x}\)</math> en transformant en :

<math>\(\frac{ln x}{x} \times \frac{x}{x^\frac{2}{n}}\)</math>

Mais après je me retrouve avec un terme à droite qui lui ne tend pas vers 0 pour tout n. Du coup il s'agit d'une forme indéterminée.

Merci d'avance pour vos judicieux conseils !

Edit: Enfaite, le terme entre parenthèse ne tend pas vers 0, mais il tend toujours vers une limite inférieure à 1, du coup c'est peut-être ça la piste...

Essaye Hospital

Ce n'est pas au programme de Terminale...

Bonsoir,

pour n donné, fn(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini
indication de preuve

Considérant acquis le résultat <math>\(\[ \lim_{x\to \infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0 \]\)</math>, on ontient en substituant la variable <math>\(\[ x^{r},r>0 \]\)</math>,
<math>\(\[ \dfrac{ln(x^{r})}{x^{r}}\longrightarrow 0, r>0 \]\)</math>, donc <math>\(\[ \dfrac{rlnx}{x^{r}}\longrightarrow 0 \]\)</math>, donc <math>\(\[ \dfrac{lnx}{x^{r}}\longrightarrow 0 \]\)</math>.
Prenons comme r > 0,<math>\(\[ r = \dfrac{2}{n} \]\)</math>, et en élevant à la puissance n, il vient:
<math>\(\[ \forall n >0,\lim_{x\to \infty} \dfrac{(ln(x))^{n}}{x^{2}}=0 \]\)</math>

Merci beaucoup ! L'usage d'une composée en posant <math>\(X = x^r\)</math> est très utile !
Pour les autres, c'est très gentil d'apporter vos sentiments, mais ça ne m'aide pas beaucoup, en tout cas c'est en effet totalement hors-programme, mais il s'agit d'un sujet de synthèse, qui est donc un peu construit pour qu'on se creuse les méninges. Ce n'est pas un exercice obligatoire, c'est juste pour le plaisir.

Je passe au vert ! ;-)

Citation : True-ch4t

Pour les autres, c'est très gentil d'apporter vos sentiments, mais ça ne m'aide pas beaucoup, en tout cas c'est en effet totalement hors-programme, mais il s'agit d'un sujet de synthèse, qui est donc un peu construit pour qu'on se creuse les méninges. Ce n'est pas un exercice obligatoire, c'est juste pour le plaisir.

Je crois que Manuu parlait de la règle de l' Hospital pas de ton exercice

Autant pour moi, je connaissais pas, en quoi ça consiste ?