Bonjour a tous j'ai fait cet exo et je ne suis pas sûr de la justesse de ma solution. pouvez-vous y jeter un coup d'oeil svp?

Enoncé : soit a>0 un irrationnel et (Rn) une suite de rationnels qui converge a. Pour tout n, on écrit Rn = Pn/Qn où pour tout n, Pn est dans Z,Qn est dans N.
Montrer que lim Pn = lim Qn = +infini quand n tend vers l'infini.

ma solution.
1er point : les suites (Pn) et (Qn) sont équivalentes donc de même nature.

2ème point : Par l'absurde, si (Pn) converge vers l (qui est dans Z car Z est un fermé), on a (Qn) qui converge vers l' on montre (je passe la rédaction propre mais c'est simple) que a=l/l' qui est rationnel ce qui est absurde donc (Pn) et (Qn) divergent.

3ème point : par l'absurde, on suppose que (Pn) ne tend pas vers +l'infini.
Donc par définition, il existe A>0 tel que pour tout n0 dans N il existe n>n0 tel que Pn<A.
On peut alors extraire (Pn') et (Qn') deux suites bornées par A (je passe les détails de la construction de ces suites)
Les 2 nouvelles suites étant bornées on peut en extraire des sous suites convergentes. On note (Pn")et (Qn") les 2 sous suites convergentes. Et on défini (Rn") par Rn"=Pn"/Qn".

Si lim Pn"=u et lim Qn"=v alors lim Rn" = u/v
Or (Rn) est bornée (car convergente) donc lim Rn = a <=> V ={a} (où V est l'ensemble des valeurs d'adhérence de (Rn) )
comme u/v appartient à V ( (Rn") est une sous suite de (Rn)) on a : a = u/v ce qui est absurde.
Donc (Pn) et (Qn) tendent vers l'infini.

Salut,
Déjà un truc : (Pn) et (Qn) ne sont pas équivalentes car (Pn/Qn) tend vers a qui est différent de 1.

Bonsoir,
Est ce que je fait une erreur de raisonnement en faisant ce simple constat?

Si Qn et Pn ne tendent pas vers l'infini, ils sont donc bornés.( ton point 3) mais la suite je ne suis plus car Qn et Pn sont des suites d'entiers, c'est l'hypothèse :

une ensemble borné de nombre entier relatifs ou non est un ensemble de cardinal fini.
Donc la suite Pn/Qn prendrait un nombre fini de valeurs rationnelles et ne pourrait donc converger vers un irrationnel.
( remarque: Si seul Pn ou seul Qn était borné, la limite ne pourrait être a, ce serait 0 ou l'infini)

Un bug ?

Une suite qui ne tend pas vers l'infini n'est pas nécessairement bornée (par exemple <math>\(n(-1)^n\)</math>). Cet exemple montre aussi qu'on ne peut pas forcément extraire une sous suite bornée.

Citation : valentinm

Bonjour a tous j'ai fait cet exo et je ne suis pas sûr de la justesse de ma solution. pouvez-vous y jeter un coup d'oeil svp?

Enoncé : soit a>0 un irrationnel et (Rn) une suite de rationnels qui converge a. Pour tout n, on écrit Rn = Pn/Qn où pour tout n, Pn est dans Z,Qn est dans N.
Montrer que lim Pn = lim Qn = +infini quand n tend vers l'infini.

ma solution.
1er point : les suites (Pn) et (Qn) sont équivalentes donc de même nature.

2ème point : Par l'absurde, si (Pn) converge vers l (qui est dans Z car Z est un fermé), on a (Qn) qui converge vers l' on montre (je passe la rédaction propre mais c'est simple) que a=l/l' qui est rationnel ce qui est absurde donc (Pn) et (Qn) divergent.

3ème point : par l'absurde, on suppose que (Pn) ne tend pas vers +l'infini.
Donc par définition, il existe A>0 tel que pour tout n0 dans N il existe n>n0 tel que Pn<A.
On peut alors extraire (Pn') et (Qn') deux suites bornées par A (je passe les détails de la construction de ces suites)
Les 2 nouvelles suites étant bornées on peut en extraire des sous suites convergentes. On note (Pn")et (Qn") les 2 sous suites convergentes. Et on défini (Rn") par Rn"=Pn"/Qn".

Si lim Pn"=u et lim Qn"=v alors lim Rn" = u/v
Or (Rn) est bornée (car convergente) donc lim Rn = a <=> V ={a} (où V est l'ensemble des valeurs d'adhérence de (Rn) )
comme u/v appartient à V ( (Rn") est une sous suite de (Rn)) on a : a = u/v ce qui est absurde.
Donc (Pn) et (Qn) tendent vers l'infini.

Ca me semble pas faux, mais un peu complexe.

Pour arriver au résultat, il te suffit de raisonner par l'absurde : supposer que Pn ne tend pas vers +infini. Traduit en terme de quantificateurs, ça te donne qu'on peut extraire une sous suite bornée de (Pn), comme tu l'as remarqué. Tu peux soit continuer comme tu as fait, ou en utilisant la remarque de Nabucos. Et c'est terminé, tu arrives sur une absurdité. En fait c'est ton point 2 qui est inutile.

Citation

supposer que Pn ne tend pas vers +infini. Traduit en terme de quantificateurs, ça te donne Pn borné

Enfin ce qu'il faut surtout dire c'est que Pn ne tend pas vers +l'infini en valeur absolue implique qu'il existe une extraction bornée.

Bonsoir,

tentative pour corriger le bug en restant sur le même principe ...malgré l'heure tardive.
la contradiction venant de l'exemple <math>\(n(-1)^n\)</math> peut se lever en disant qu' une suite Pn d'entiers relatifs non bornée de ce type a obligatoirement des termes négatifs quel que soit n donc ne peut pas conduire à une convergence vers un a>0 puisque Qn est une suite d'entiers naturels par hypothèse.

Par contre il convient effectivement d'examiner une suite Pn positive à partir d'un certain rang, non bornée sans converger vers <math>\(\[+ \infty \]\)</math> car n'ayant pas de limite.
Cela veut dire qu'il existe nécessairement une borne A>0 telle que
<math>\(\[ \forall N,\exists n>N, P_{n}<A \]\)</math>( si A n'existe pas cela veut dire que Pn va converger à l'infini même de façon chaotique )
Donc on peut extraire de Pn une sous suite constituée de termes prenant un nombre fini de valeurs entières De même pour Qn donc on peut construire une sous suite de Rn ne prenant qu'un nombre fini de valeurs rationnelles et qui devrait converger vers a irrationnel ce qui est contradictoire.
(fin ?)

Si tu défini <math>\((u_n)\)</math> comme ça :
<math>\(u_{2p}=2p\)</math>
<math>\(u_{2p+1}=1\)</math>
Elle tend pas vers l'infini, elle est pas bornée et elle est positive.

edit: ok je crois que je contredis personne après relecture de ce qu'a dit nabucos, pas grave un exemple fait pas de mal...

edit2 : par contre nabucos pour arriver à ta contradiction il faut à la fois que (Pn) et (Qn) prennent un nombre fini de valeur entière. Donc pour faire le raisonnement par l'absurde il faut supposer que (Pn) et (Qn) ne tendent pas vers l'infini
Le contraire de ça c'est (Pn) tend vers l'infini OU (Qn) tend vers l'infini.

rom1504 sauf que Pn tend vers l'infini équivaut à Qn tend vers l'infini.

De toute façon le raisonnement de valentinm est juste, à deux/trois détails de rédaction. C'est ce qu'il voulait savoir au départ.

Oui c'est vrai (parce que (Pn) est équivalent à (aQn) et que a est différent de 0).
Après pour savoir si c'est bon ou pas, franchement y a beaucoup trop de trucs non dit pour savoir.

Déjà merci a tous d'avoir porter de l'attention à mon message et en apportant des précisions c'est vrai que c'est mieux.

On a déjà Pn qui est équivalent à aQn donc les suites sont de même natures.

On a Rn -> a >0 donc si on pose V=[a-a/2, a+a/2] il existe un n0 tel que pour tout n>n0 Rn appartient à V donc pour tout n>n0 Rn>0.
Quitte a considéré une nouvelle suite Rn définie a partir d'un n0 tel que pour tout n Rn>0 on peut supposer que Rn>0 pour tout n.

On suppose que (Pn) ne tend pas vers l'infini. Avec des quantificateur ça donne :
il existe A>0 tel que pour tout n0 il existe n>n0 / Pn<A.
On prend donc un tel A.
Soit n0 dans N. Il existe m0 dans N tel que Pm0<A.
Soit n1>n0 dans N. Il existe m1>m0 tel que Pm1<A...
On construit ainsi une suite Pm bornée par A. (pour tout m dans N 0<Pm<A).
On conclut comme j'ai fait dans le premier msg.