Bonjour, j'aurais besoin d'un petit coups de main sur un exercice de mathématiques . Voici l'énoncé :
Déterminer les solutions définies sur R de l'équation différentielle
|x|y'+(x+1)y = (x)^2 (E)
donc il faut résoudre l'équation (H)|x|y'+(x+1)y=0 d'abord et les solutions sont de la forme kexp((-0,5x^2)+ln|x|) avec k dans R. Puis on trouve les solutions de E de la forme kexp((-0,5x^2)+ln|x|)-2exp((-x^2)+ln|x|) avec k dans R.

Cependant ceci fonctionne sur R si |x| ne s'annule pas sur R or c'est le cas . Donc je ne sais pas comment faire de plus il y a une indication qui conseille l'utilisation du développement limité à l'ordre 2 en 0 de exp.

Merci.

Sans regarder plus en détail les calculs, quand on a un problème à cause du terme en facteur de la dérivé première qui s'annule, il faut résoudre l'équation différentielle sur les différents intervalles ou ce terme ne s'annule pas et essayer ensuite si besoin de "raccorder les solutions". Ce raccordement dépend de ce que l'on cherche (veut-on une solution continue, une solution continue et dérivable, la dérivée doit-elle être en plus continue, souhait-on encore plus de régularité ?)


PS : choisit un titre un peu plus explicite, du genre "équation différentielle à coefficient non constants" ou "équation différentielle : raccordement de solution" ou n'importe quoi qui évoque plus ton problème que "mathématiques", trop général et trop vague.

D'accord donc je résoud sur R étoile et puis je fais un raccord en 0 ? mais je n'ai pas compris lorsque tu dis que le raccord dépend de ce que l'on cherche parce qu'on cherche une solution de E sur R mais comment savoir si on veut la solution est continue...
Merci bcp pour ton aide

Le plus souvent on cherche une solution raccordée qui soit continue et dérivable.

d'accord merci donc je résoud sur R étoile et je raccorde en 0 pour avoir une solution raccordée qui soit continue et dérivable c'est ça ? Mais dans mon cours on a pas préciser que le raccord dépend donc on peut supposer que celle du cours est celle qui permet d'avoir une solution raccordée qui soit continue et dérivable ;)?

Tu vas obtenir des solutions <math>\(f_+\)</math> et <math>\(f_-\)</math> respectivement définies sur <math>\(\mathbb{R}_{+}^*\)</math> et <math>\(\mathbb{R}_{-}^*\)</math>. Tu devras dans un premier étudier si tu peux prolonger certaines de tes solutions <math>\(f_+\)</math> et <math>\(f_-\)</math> par continuité en 0. Et ensuite tu devras vérifier quelles solutions parmi celles précédemment sélectionnées sont dérivables à gauche et à droite de 0 avec <math>\(\lim_{x\to 0^-}\frac{f_-(x)-f_-(0)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f_+(x)-f_+(0)}{x}\)</math>

Un élément de l'ensemble des solutions est par définition solution de l'équation différentielle, donc la fonction est dérivable, donc elle est continue. C'est pour cela que l'on cherche les "solutions raccordées" !

Pense également à modifier ton titre afin de le rendre plus explicite.