Salut !

Je bloque sur un tit exo de spé maths.
Il s'inscrit dans le chapitre sur la divisibilité dans R.

Citation : énoncé

Démontrez que si p est impair, la somme de p nombres consécutifs est un multiple de p

Merci d'avance

La somme pour k allant de 0 à 2p des (n+k) [ qui fait 2p+1 termes consécutifs ] vaut clairement
(2p+1) * n + la somme pour k allant de 0 à 2p des k
Ce qui donne :
(2p+1) * n + [2p(2p+1) / 2]
Et on met (2p+1) en facteur = (2p+1) * [n + p]

Et voilà

Si tu sommes p entiers consécutifs, S = (n+1) + ... + (n+p), ca te donne :
S = (n+p)*(n+p+1)/2 - n*(n+1)/2 (c'est la somme des n+p premiers termes moins la somme des n premiers termes)
donc en développant :
S = (n²+np+n+np+p²+p-n²-n)/2
= p * (n*p + p/2 - 1/2)
Le probleme est maintenant de montrer que ce qui'l ya entre parentheses est un entier.
Si on pose p = 2k+1, n*p + p/2 - 1/2 = n*(2k+1) + k, ce qui est entier

Donc S = p* quelques chose d'entier, donc S est un multiple de p

La principale difficulté dans cet exo est de ne pas faire d'erreurs de calcul (j'ai en fait pas mal avant d'arriver au résultat). Sinon pour le raisonnement, il n'y a rien de vraiment difficile, ca coule un peu tout seul (peut etre la premiere etape est pas évidente, faire la difference entre les sommes des premiers termes)

> Macleto : tas essayé ta formule ? Ca me parait assez douteux de partir de 0 pour faire une somme de p entiers consécutifs. On ne part pas forcément de zéro ( )

Merci Pollux568, j'ai compris
Par contre, j'ai pas bien cerné la première étape (l'utilité du moins).

Pollux568, allons, j'aurais cru qu'un normalien pouvait déchiffrer ce que je voulais dire, même si le forum n'est pas le mieux pour rédiger.


Maintenant, si tu veux garder ton caca qui prend quinze lignes et qui complique tout, c'est ton problème, Ô conscrit (ça se dit aussi pour Cachan ?)

Ciel !
On dévoile ma vie privée !
Mais qui...
Voyons les indices :
1) tu sais que je suis normalien à cachan
2) tu n'es pas normalien à cachan (ca se dit pas "conscrit")
3) Tu es né le 12 janvier 1991 (=> 15 ans ???)
4) Tu es ou t'as été à louis le grand

Alors je vois vraiment pas... A moins qu'il yait un truc faux la dessus...


>pinprick : si tu veux p entiers consecutifs QUELCONQUES, ca ne doit pas forcément partir de 0. D'où l'utilité de prendre la somme des n+p+1 premiers nombres moins la somme de n premiers (pour avoir la somme de n+1 à n+p+1)

Non mais "conscrit" c'est juste pour Ulm apparemment, je me posais la question. Quant à ta vie privée, tu l'as racontée dans un topic sur la "Chromodynamique quantique", j'ai rien inventé (toute ton énumération est bonne). [Je suis en TS à LLG].

Bon, PiNpRiCk, tu auras remarqué que ma solution est bien plus élégante que celle de Pollux, et évite de faire des erreurs de calculs Après, tu choisis celle que tu veux

Salut, alors moi j'en suis arrivé la ... parceque je captais pas trop vos démonstrations

-notons a premier terme avec a(appartien) à N
-notons p nombre consécutif.

la somme des p nombres consécutifs :
a+(a+1)+(a+2)+...+(a+p-1)
= pa+[1+2+...+(p-1)]
= pa+p[(p-1)/2]
= p[a+(p-1)/2]

donc p, impaire, est un multiple de la somme.

J'aimerai savoir si cette démonstration se tien, et surtout si il manque de précision quand à la rédaction d'une démonstration (genre défini dans .. , ou pour p impaire etc..)

Merci d'avance, alex

Macleto : le blem dans ta démonstration, c'est que y'a 10 lettres différentes : des j, des p, des k, des n .. jvois plus le bout du truc :/

Ca se tient tout à fait, si tu n'as pas encore "vu" la notation avec des sigmas ca revient à ça

Sisi, mais sur le forum c'est compliqué a faire

Ouais ca marche ca.
C'est meme plus élégant que mon truc tout moche.
Et ca revient à ce que fait macleto,
vraiment ya rien à redire

(quoi ? moi je raconte ma vie ? zut, je vais plus pouvoir poster incognito en disant "ca fé koi (2+5)/3 aidé mwa lol mdr ?"
D'ailleurs jai commencé les vrais cours de méca quantique ce matin, oulalala la galere )