salut tous,

dans la plupart des méthodes numériques que j'ai vu les matrices que l'on utilise pour resoudre un systeme <math>\(A.x=b\)</math> (par exemple) sont supposées positive et symétrique.

pourriez vous me dire pourquoi ceci nous arrange dans les méthodes numériques? es ce que ce type de matrice se rencontre fréquemment en physique? quand es ce qu'on rencontre des matrices non symétrique/positive ?

merci pour vos info

Ta question est très vague, et mes souvenirs encore plus, mais si tu regardes les démonstrations de ces méthodes, il me semble qu'on utilise le fait que la matrice <math>\(A\)</math> est définie positive...


En effet, une méthode de résolution n'est autre qu'un algorithme, mais il faut biensûr montrer la convergence, sinon on l'applique sans savoir ce que l'on fait !

Hé bien la convergence n'est assurée que pour les matrices définies positives, dans celles que tu dois utiliser

Pour moi, la seule condition pour assurer l'existence et l'unicité de la solution d'un système linéaire est que A soit de déterminant non nul (Formules de Cramer).
Même pour une méthode numérique utilisant par exemple l'algorithme du pivot.

merci pour votre aide.

si j'ai bien compris, le determinant de A est nul si ma matrice n'est pas définie positive ?

On retrouve des hypothèses de matrices symétriques définies positives dans la méthode du gradient, du gradient conjugué et de Cholesky.

Je suis pas trop calé là-dessus, mais l'idée c'est de pouvoir décomposer la matrice en un produit de matrices simple à inverser :


Par exemple,

Citation

Si A est une matrice symétrique définie positive, il existe au moins une matrice réelle triangulaire inférieure L telle que :

<math>\(A=LL^T\)</math>

Résoudre un système avec une matrice triangulaire est beaucoup plus simple.

merci pour ces reponses, je saisi mieux.

=> par contre, dans la réalité nos modèles physiques conduisent tous à des systèmes où A est positive ?

connaissez vous des cas où les matrices obtenues par un systeme physique ne sont pas positives ?

La matrice ne découle pas directement du phènomène physique. Tu décides, avec des plus ou moins bons arguments d'appliquer un certain algorithme au modèle. Si l'algo a besoin d'une définie positive, il en aura une. Après est ce que l'algo est adapté, c'est une autre question.

Typiquement, des algorithmes comme le gradient conjugué n'assure pas la convergence vers une solution (même sous-optimale).

Citation : Lanfeust 313

La matrice ne découle pas directement du phènomène physique.

je suis pas d'accord avec ça. Si tu prends par exemple un systeme "masse-ressort" à plusieurs degres de libertés tu vas te rendre compte que tu tombe sur un systeme du type A.x=b et A depend de la raideur de tes ressorts.

Citation : Lanfeust 313

Typiquement, des algorithmes comme le gradient conjugué n'assure pas la convergence vers une solution (même sous-optimale).

au passage, c'est quoi la méthode du gradient conjugué ? je connais la méthode de descente de gradient pour chercher le minimium d'une fonction mais pas le gradient conjugué ?

C'est vrai que j'ai peut-être bullshité, en tout cas j'ai pas d'exemples qui implique de la matrice défini positive.

Tu trouveras ce qu'il faut sur <lien url="http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_me

merci pour les infos en tout cas

A+