Bonjour,

J'ai une question qui me tourne dans la tête depuis plusieurs jours:

Une fonction du type \[f(x)=x+sin(x)\] a elle un maximum (ou un minimum) global ? 

Et une fonction tel que \[f(x)=sin(x)\], qui pour tout x étant un maximum/minimum a la même valeur ?

J'ai aussi une dernière question à ce sujet là: Dans mon cours, on me dit que pour une valeur \[a\], il s'agit d'un minimum local ssi \[f(x) <= f(a)\].

Sauf que si par exemple je prends \[f(x) = x * sin(x)\], alors pi est l'abscise d'un minimum local. Pourtant \[f(2pi) > f(pi)\]

Merci

Ps: désolé de la mise en page un peu brouillon, je suis sur smartphone

-
Edité par Tackeshi 9 mai 2018 à 10:04:44

La fonction \(x\sin x\) n'est pas bornée  mais présente une infinité de maximum et minimum locaux.
Attention \(\pi\) n'est pas un minimum local!
La fonction s'annule en \(\pi\) cela ne veut pas dire que c'est un minimum. En fait,  ta définition d'un minimum local est incomplète ce qui te conduit à un raisonnement incorrect en comparant la valeur de la fonction en deux points quelconques.
On dit qu'il existe un minimum local en \(x_0\) si il existe un intervalle \(I=] x_0-\eta ,x_0+\eta [\) tel que \(f(x)<f(x_0), \forall x\in I \).   

 Si on considère le graphe de la fonction ( courbe en vert), on voit que les points où elle s'annule ne sont pas des minimum en cohérence avec la définition, sauf à l'origine.
Il y a par contre  une infinité de max et min locaux que on  explicite  avec l'étude de  la dérivée: \(f'(x)=x\cos(x)+\sin(x)\) qui s'annule au point vérifiant \(x_0=-\tan(x_0)\). La seule solution simple est \(x_0=0\)
Pour que ce soit un extremum, il faut aussi vérifier que la dérivée change de signe en \(x_0\).

La fonction \(g(x)=x+\sin(x)\) ( en bleue sur le graphe), a pour dérivée g'(x)=1+cos(x)\) qui s'annule pour \(x=(2k+1)\pi\) mais c'est un point d'inflexion et non un extremum car \(g'(x) \geq 0, \forall x \) ne change pas de signe en ces points.

Enfin f(x) n'a pas non plus de maximum ou minimum global, n'étant pas bornée.

-
Edité par Sennacherib 9 mai 2018 à 9:23:53

Bonjour,

Merci pour cette (longue) explication, j'y vois un peu plus claire !

Donc, si j'ai bien compris:

- Une fonction non bornée ayant un motif de 'vague' qui se répète (Je sais pas trop comment définir ceci en faite) n'as pas de minimum et de maximum globaux, mais une infinité de minimum et maximum locaux.

Dans mon livre de théorie (et j'ai trouvé la même chose sur wiki), ils disent que \(f(x) \geqslant f(a)\), c'est correct ?

Car du coup, imaginons cette fonction: (son domaine est \([-10;10]\))

Alors, selon ce que j'ai compris, \(\forall x_0 \in [-5;0[ U ]0;5], x_0\) est un minimum local, et \(\forall x_1 \in ]-5;0[ U ]0;5[, x_1 \) est un maximum local. Ou alors dit-on que l'intervalle \([-5;0[\) est un minimum ? (pareil pour les autres)

Et que si \(f(x) = k\) (fonction constante donc), alors \(\forall x \in \mathbb R\) x est un minimum et un maximum de \(f(x)\)

Mais ça me semble étrange.

Merci

-
Edité par Bhasher 10 mai 2018 à 10:54:37

Sur le premier point, (fonction non bornée en forme de vague) ... oui.

Sur la suite, pour la notion de minimum ou maximum local, il faut aborder le concept de voisinage. Pour savoir si un point (X0 ,f(X0)) est un maximum local, on regarde si on peut trouver un petit intervalle autour de ce point, et dans cet intervalle, tous les points X1 doivent vérifier f(X1) <= f(X0)

En français : quand on regarde juste un petit intervalle autour du point étudié, si le point étudié est un maximum, alors on parle de maximum local. (respectivement pour minimum local)

Du coup, on a des cas particuliers assez bizarres. Quand une courbe est constante sur un intervalle, alors sur cet intervalle, tous les points sont à la fois des minimums locaux et des maximums locaux.