On considère la fonction f définie sur R par f(x)=<math>\(\frac{x^2-1}{x+1}\)</math> si x<math>\(\neq\)</math>-1 et f(-1)=-2.
Montrez que f est continue en -1.
J'ai fait pas mal d'essais mais rien à faire je ne trouve pas... Je pense qu'il faut trouver un moyen de trouver une limite égale = -2 quand x tend vers -1 mais pas avec la fonction telle qu'elle est.. j'ai testé des méthodes trouvées dans un livre ainsi que celle de ma prof mais je ne suis même pas sur de savoir quoi chercher dans ce cas particulier ! Je ne demande pas un correction à mon exercice mais juste une petite aide pour savoir dans quelle direction chercher ! Un indice !
C'est comme si l'énoncé donnait <math>\(f(x) = \frac{1}{x}\)</math> définie sur <math>\(D_f = \mathbb{R}\)</math> alors que <math>\(0\)</math> est valeur interdite et <math>\(f\)</math> est définie sur <math>\(D_f = \mathbb{R}^*\)</math>.
Il y a une erreur dès le départ quand il dit
Citation : guidono
<math>\(f\)</math> définie sur R par <math>\(f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}\)</math> si <math>\(x\neq1\)</math> et <math>\(f(-1)=-2\)</math>
<math>\(f\)</math> est définie sur <math>\(\mathbb{R}\backslash\{-1\}\)</math> (selon l'expression donnée) et l'énoncé dit "pour tout <math>\(x \ne 1\)</math>" ce qui est faut car <math>\(f\)</math> est bien définie en <math>\(1\)</math>.
Ha non, on a tout à fait le droit de définir une fonction par morceaux :
On a le droit définir une fonction qui vaut machin sur cette partie et truc sur son complémentaire, et c'est le cas de la fonction de cette exercice elle a une expression sur R privé de 1, et une autre expression pour 1.
Par exemple on a le droit de considérer la fonction qui vaut 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels
C'est vrai que l'énoncée a oubliée un -, ce n'est pas pour autant que la fonction n'est pas définie en -1, elle est mal définie entièrement (par erreur de frappe/recopie) et un peu de réflexion suffit à corriger l’énoncée .
C'est vrai que l'énoncée a oubliée un -, ce n'est pas pour autant que la fonction n'est pas définie en -1, elle est mal définie entièrement (par erreur de frappe/recopie) et un peu de réflexion suffit à corriger l’énoncée .
Non parce qu'il s'est peut-être gouré dans le dénominateur, on peut pas trop deviner dans quel sens est l'erreur.
Si il s'était trompé dans le dénominateur, il se serait également trompé dans le f(-1)=-2 car il aurait du marquer f(1)=2, soit deux erreurs (et 3 fautes de frappe) avec cette hypothèse au lieu d'une seule dans la première.
En tout cas l'énoncé comme il est là n'a aucun sens.
On nous dit que la fonction est définie sur <math>\(R\)</math> et on nous indique directement après <math>\(f(-1)=-2\)</math>
Il aurait fallu préciser que la fonction était définie par morceaux car là ça n'a aucun sens.
Du coup en rectifiant l'énoncé il faut faire comme j'ai fait dans mon premier message et en levant l'indétermination de la limite en -1 :
<math>\(\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}\)</math>
Du coup il faut étudier la limite quand x tend vers -1 de l'expression <math>\((x-1)\)</math> et ça fait -2.
Et <math>\(f(-1) = \lim\limits_{x \to -1} f(x) = -2\)</math> donc f est continue en -1.
L'erreur, c'est seulement l'oubli du "-", <math>\(f\)</math> est bien définit sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> tout entier puisque qu'on précise sa valeur pour tous les réels.
Je viens de comprendre l'énoncé, il y a deux cas en fait.
Donc oui à partir de là, la fonction est bien définie sur R.
Mais oui il aurait dû mettre <math>\(x \neq -1\)</math>
Et il aurait dû mettre "si <math>\(x = -1\)</math> alors <math>\(f(-1)=-2\)</math> et si <math>\(x \neq -1\)</math> alors f(x) = blabla" car là on pense facilement qu'il s'agit de f(-1) pour la fonction étudiée, et ce réel n'existe pas. Or il s'agit d'une définition de f(-1) faite à part.
Donc l'énoncé reste bien confus et avec une erreur.
Mais la méthode pour résoudre l'exercice reste la même.
Les énoncés de ce type sont pourtant très courant (on rencontre souvent des fonctions qu'il est utile de prolonger par continuité), même si je les trouve plus clair écris de cette façon : <math>\(f : x \mapsto \left\{\begin{array}{cl} \frac{\sin(x)}{x} & \text{ si } x\neq0 \\ 1 & \text{ sinon}\end{array}\)</math>
Exacte, désolé ce n'est pas malin de ma part d'avoir oublié le '-' !
Cependant, Craw, dans ton avant dernier post, je ne comprend pas trop ce que tu fait concrètement ! ( quand x tend vers -1 de l'expression (x-1) ça fait -2) Pourquoi prendre uniquement (x-1) ?
De manière plus formelle, on peut dire que la fonction <math>\(g : x \mapsto x-1\)</math> coïncide avec <math>\(f\)</math> pour <math>\(x\neq-1\)</math> et qu'elle est continue en <math>\(-1\)</math> et par conséquent, <math>\(\lim_{x\rightarrow-1}f(x) = \lim_{x\rightarrow-1}g(x)=g(-1)=-2\)</math>
Les énoncés de ce type sont pourtant très courant (on rencontre souvent des fonctions qu'il est utile de prolonger par continuité), même si je les trouve plus clair écris de cette façon : <math>\(f : x \mapsto \left\{\begin{array}{cl} \frac{\sin(x)}{x} & \text{ si } x\neq0 \\ 1 & \text{ sinon}\end{array}\)</math>
Oui voilà cette forme c'est très clair.
J'avais déjà rencontré cette présentation avec la fonction valeur absolue où on définissait deux cas.
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