Salut les Zéros,

En lisant un article sur les Problèmes du prix du millénaire en mathématiques, je suis
tombé sur l'Hypothèse de Riemann qui utilise La fonction zêta de Riemann définit par:

<math>\(\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\)</math>

ou s est un nombre complexe de partie réelle supérieure à 1.

Je connais la définition d'un nombre complexe élevé à une puissance entière. Par contre le contraire
j'avoue ne jamais l'avoir rencontré avant !!.

Ma question est donc: c'est quoi la definition exacte d'un nombre entier élevé à une puissance complexe !!!

Cela ne empêche pas de dormir (quoique ) mais je suis curieux de savoir.

Si quelqu'un (de moins zéro que moi ) peut m'éclaircir la dessus.

A+
Daidalos

Par exemple, <math>\(2^{\pi+i} = 2^\pi e^{i\ln2} = 2^\pi(\cos(\ln2)+i\sin(\ln2))\)</math>

ok ok merci Krosian
je suis surpris de cette définition,
je ne l'avais jamais rencontrée auparavant.

La définition est, plus généralement,
<math>\(e^{\alpha i} = \cos(\alpha) + i \sin(\alpha)\)</math>

En utilisant la propriété bien connue dans les réels <math>\(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\)</math>, on élargit la définition à
<math>\(e^{\beta + \alpha i} = e^\beta \cdot e^{\alpha i} = e^\beta (\cos(\alpha) + i \sin(\alpha))\)</math>

On élargit encore la définition pour un réel positif quelconque:
<math>\(x^{\beta + \alpha i} = \left(e^{\ln(x)}\right)^{\beta + \alpha i} = e^{\ln(x)(\beta + \alpha i)} = e^{\ln(x) \beta} (\cos(\ln(x)\alpha) + i \sin(\ln(x)\alpha))}\)</math>



NB: Les définitions ci dessus sont plus des conséquences de lé définition initiale que des réelles définition, mais si c'est te première approche de ces objets, il faut y aller doucement.

eh eh j'apprends aussi quelque chose

J'ai aussi une question de même type (je crée pas un nouveau topic ça n'en vaut pas la peine)

Comment on définit une puissance irrationnelle ? genre 3^pi ?

D'après Wikipedia (car je ne suis pas expert pour différencier les définitions historiques des propriétés qui en découles mais qui pourraient être une définition):

Citation : Wikipedia

On appelle fonction exponentielle réelle, toute fonction continue de <math>\(\mathbb{R}\)</math> dans <math>\(\mathbb{R}^*\)</math> transformant une somme en produit, c'est-à-dire toute fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle <math>\(f(u+v) = f(u) \cdot f(v)\)</math>
En notant <math>\(a\)</math> la valeur de <math>\(f(1)\)</math>, la fonction <math>\(f\)</math> est appelée exponentielle de base <math>\(a\)</math>.

Mais intuitivement l'exponentielle d'un nombre rationnel est bien définie. Si on considère un irrationnel <math>\(x\)</math>, on peut construire une suite de rationnels <math>\(q_1,q_2,q_3,\dots\)</math> qui converge vers <math>\(x\)</math>. On peut alors voir <math>\(e^x\)</math> comme la limite de la suite <math>\(e^{q_1},e^{q_2},e^{q_3},\dots\)</math>

Citation : Hayabusa

Comment on définit une puissance irrationnelle ? genre 3^pi ?

Tout simplement par <math>\(e^{\pi\ln 3}\)</math>.

Citation : candide

Citation : Hayabusa

Comment on définit une puissance irrationnelle ? genre 3^pi ?

Tout simplement par <math>\(e^{\pi\ln 3}\)</math>.

<math>\(\pi \ln(3)\)</math> serait donc rationnel ?

Citation : Caduchon

Citation : candide

Citation : Hayabusa

Comment on définit une puissance irrationnelle ? genre 3^pi ?

Tout simplement par <math>\(e^{\pi\ln 3}\)</math>.

<math>\(\pi \ln(3)\)</math> serait donc rationnel ?

Ce n'est pas la question. On ramène la définition d'une puissance irrationnelle à celle de l'exponentielle, c'est d'ailleurs cette fonction que tu invoques :

Citation : Caduchon

Si on considère un irrationnel <math>\(x\)</math>, on peut construire une suite de rationnels <math>\(q_1,q_2,q_3,\dots\)</math> qui converge vers <math>\(x\)</math>. On peut alors voir <math>\(e^x\)</math> comme la limite de la suite <math>\(e^{q_1},e^{q_2},e^{q_3},\dots\)</math>

Pour répondre très directement au PO, on pourrait plutôt définir <math>\(3^x\)</math>, sans utiliser exp(1) :

*) en définissant <math>\(3^\frac pq\)</math> avec p et q entiers
*) par densité, <math>\(3^x\)</math> par <math>\(3^{r_n}\)</math> où <math>\(r_n\)</math> est une suite de rationnels tendant vers x.

En pratique, on ne fait pas comme ça, on définit les puissances irrationnelles via l'exponentielle naturelle. Je n'ai jamais vu ça fait autrement (sinon à l'occasion d'exercices), dans tous les manuels français, c'est ainsi mais aussi dans tous les manuels de langue anglaise que je connaisse, par exemple j'ai sous les yeux Protter & Morrey, A first Course in Real Analysis, Springer, ils disent (page 120):

Expressions of the forms <math>\(a^x\)</math> for <math>\(x\)</math> rational have been defined by elementary means. (...) However, the definition of quantities such as <math>\(3^{\sqrt 2}\)</math> or <math>\(\sqrt 7^\pi\)</math> cannot be given in such elementary way. For this purpose, we use the following technique, a standard one for extending the domain of a function from the rational numbers to the real numbers : <math>\(a^x=\exp(x\log a)\)</math>

Citation : Caduchon

Si on considère un irrationnel <math>\(x\)</math>, on peut construire une suite de rationnels <math>\(q_1,q_2,q_3,\dots\)</math> qui converge vers <math>\(x\)</math>. On peut alors voir <math>\(e^x\)</math> comme la limite de la suite <math>\(e^{q_1},e^{q_2},e^{q_3},\dots\)</math>

Rien dit. Mal lu. Dsl

Citation : Caduchon

ATTENTION !!!
La formule <math>\((e^a)^b = e^{ab}\)</math> n'est PAS valable lors que <math>\(a,b\)</math> sont des complexes !

En fait la question ne se pose pas vraiment puisque d'une façon générale, cela supposerait qu'ait été défini <math>\(z^b\)</math> avec <math>\(z\)</math> et <math>\(b\)</math> complexes.

complexe tout ça (jeu de mot nul)

merci pour vos réponses ;-)

Citation : candide

Citation : Caduchon

ATTENTION !!!
La formule <math>\((e^a)^b = e^{ab}\)</math> n'est PAS valable lors que <math>\(a,b\)</math> sont des complexes !

En fait la question ne se pose pas vraiment puisque d'une façon générale, cela supposerait qu'ait été défini <math>\(z^b\)</math> avec <math>\(z\)</math> et <math>\(b\)</math> complexes.

Un complexe exposant un complexe est défini. Je ne sais plus trop bien comment et je n'ai pas envie de me poser la question maintenant, mais une chose est sûre: Wolfram-Alpha l'accepte
http://www.wolframalpha.com/input/?i=% [...] 5E%285%2Bi%29

En fait, pour l'utiliser, il faut définir un logarithme sur C*

edit: <math>\(\ln{i} = \frac{i\pi}{2}\)</math>

Citation : Caduchon

Un complexe exposant un complexe est défini. Je ne sais plus trop bien comment et je n'ai pas envie de me poser la question maintenant, mais une chose est sûre

Oui, je ne dis pas le contraire, on a besoin d'une détermination principale du logarithme (vieux souvenirs de fonctions holomorphes d'il y a pas mal d'années) mais ce que je voulais dire c'est que ça va au-delà de la définition de l'exponentielle complexe, laquelle est assez plus simple et immédiate.

Citation : henri27

En fait, pour l'utiliser, il faut définir un logarithme sur C*

Sur <math>\(\mathbb C^*\)</math>, je crois pas. Là encore vieux souvenirs d'il y a 15 ans, il me semble pas que tu puisses définir une bonne fonction logarithme sur <math>\(\mathbb C^*\)</math>, il faut fendre le plan complexe d'une demi-droite d'origine 0.

Citation : candide

<citation rid="5742710">
Sur <math>\(\mathbb C^*\)</math>, je crois pas. Là encore vieux souvenirs d'il y a 15 ans, il me semble pas que tu puisses définir une bonne fonction logarithme sur <math>\(\mathbb C^*\)</math>, il faut fendre le plan complexe d'une demi-droite d'origine 0.

En fait, je crois que c'est surtout un problème de continuité sur <math>\(\mathbb C^*\)</math> à cause de la périodicité de <math>\(x \rightarrow e^{ix}\)</math>. Mais ça a l'air de marcher sur <math>\(\mathbb C^*\)</math>.

Citation : henri27

Citation : candide

<citation rid="5742710">
Sur <math>\(\mathbb C^*\)</math>, je crois pas. Là encore vieux souvenirs d'il y a 15 ans, il me semble pas que tu puisses définir une bonne fonction logarithme sur <math>\(\mathbb C^*\)</math>, il faut fendre le plan complexe d'une demi-droite d'origine 0.

En fait, je crois que c'est surtout un problème de continuité sur <math>\(\mathbb C^*\)</math> à cause de la périodicité de <math>\(x \rightarrow e^{ix}\)</math>. Mais ça a l'air de marcher sur <math>\(\mathbb C^*\)</math>.

Que veux-tu dire ? Qu'il existe une réciproque continue sur <math>\(\mathbb C^*\)</math> de la fonction exponentielle complexe ?

Non candide a raison, il n'y a pas de log définie sur <math>\(\mathbb{C^*}\)</math> mais sur <math>\(\mathbb{C^*}\)</math> \<math>\(\mathbb{R^-^}\)</math>oui.

EDIT : coquille

Les complexes positifs ?

Citation : neo2500

Non candide a raison, il n'y a pas de log définie sur <math>\(\mathbb{C^*^}\)</math> mais sur <math>\(\mathbb{C^*_+}\)</math>oui.

Arf oui souls killer, c'est un peu foireux la...

EDIT : Par ailleurs le log peut être aussi définie sur une boule ouverte de centre x0(on prive celle-ci de x0). En fait celle que j'ai donnée et celle qu'on appelle détermination principale du log.

Un ombre complexe non nul peut s'écrire de manière unique en :
<math>\(e^{a+ib}\)</math> où a est un réel et b un réel de <math>\(]\pi;\pi]\)</math>. On ne peut pas définir le logarithme ainsi?
Bien sur il n'y aura pas de continuité sur <math>\(\mathbb{R^-}\)</math>
J'ai l'impression que WolframAlpha utilise cette méthode.

J'ai dit une grosse bétise où ça peut encore se manger.

henri27, c'est effectivement une façon de définir le logarithme complexe, probablement la plus naturelle... mais il y en a d'autres. En général, on aime bien le point de vue de la détermination du logarithme (même s'il n'y a pas de différence complètement fondamentale par rapport à ta définition - d'ailleurs Wolfram utilise probablement comme tout le monde la détermination principale du logarithme, ce qui te fait croire qu'il utilise ta méthode puisque le résultat est exactement le même) qui donne des formules explicites pour calculer un logarithme complexe (en sus de chouettes propriétés).

De manière générale, prolonger le logarithme au plan complexe entier n'est pas une mince affaire, surtout si on veut garder les propriétés naturelles du logarithme.

Citation : neo2500

EDIT : Par ailleurs le log peut être aussi définie sur une boule ouverte de centre x0(on prive celle-ci de x0).

Oui enfin alors on perd des propriétés sympathiques (comme l'holomorphie ou même rien que la continuité) par rapport à un logarithme défini sur le plan privé d'une demi-droite non ?

Pour remprendre le post original sur la fonction zéta de Riemann, une question beaucoup plus perturbante est la suivante :
la somme telle qu'elle est posée n'est pas définie lorsque <math>\(\Im (s)<1\)</math>. Pourtant la conjecture affirme que les zéros sont sur l'axe <math>\(\Im (s) = 1/2\)</math>. Mais comment se fait-ce ? N'y a t'il pas déjà un gros problème ?

Je vous laisse méditer sur le sujet

Citation : Aladix

Pour remprendre le post original sur la fonction zéta de Riemann, une question beaucoup plus perturbante est la suivante :
la somme telle qu'elle est posée n'est pas définie lorsque <math>\(\Im (s)<1\)</math>. Pourtant la conjecture affirme que les zéros sont sur l'axe <math>\(\Im (s) = 1/2\)</math>. Mais comment se fait-ce ? N'y a t'il pas déjà un gros problème ?

D'abord, le domaine de convergence est pour la partie réelle > 1 (et pas imaginaire). D'autre part, effectivement, il s'agit des zéros de l'unique prolongement analytique de la fonction zêta sus-définie (pour comprende, faut avoir des notions sur les fonctions holomorphes, ça fait en L3 maths/méca et en 1ère année dans certaines écoles).

Oups j'ai cafouillé dans mon post sans même m'en rendre compte. C'est bien la partie réelle oui.

Citation : Locke

Oui enfin alors on perd des propriétés sympathiques (comme l'holomorphie ou même rien que la continuité) par rapport à un logarithme défini sur le plan privé d'une demi-droite non ?

Non non, on garde bien l'holomorphie et la continuité.

Fake : Logarithme_complexe#Le_logarithme_complexe_est-il_une_fonction_.3F (théorème dit ici d'inexistence : "Sur un ouvert connexe, contenant une courbe d'indice 1 autour de l'origine (par exemple un cercle centré en l'origine), il n'existe pas de détermination continue du logarithme").

Ou alors ce que tu veux dire me dépasse complètement (... c'est possible aussi vu mon amour de l'analyse complexe).

Citation : Locke

Fake : Logarithme_complexe#Le_logarithme_complexe_est-il_une_fonction_.3F (théorème dit ici d'inexistence : "Sur un ouvert connexe, contenant une courbe d'indice 1 autour de l'origine (par exemple un cercle centré en l'origine), il n'existe pas de détermination continue du logarithme").

Ou alors ce que tu veux dire me dépasse complètement (... c'est possible aussi vu mon amour de l'analyse complexe).

Oui xo différent de 0 si non ça ne marche pas. Pour le reste c'est bon.

Pourquoi faut-il priver la boule de son centre alors ? (et même si la boule contient par ailleurs 0, même si ce n'est pas son centre ?)

Oui en fait je me suis trompé...
On peut trouvé un log continue et holomorphe
<math>\(\forall x_0\)</math> sur <math>\(D(x0,x0)\)</math> (dique de centre x0 et de rayon x0). (x0 différent de 0)