Bonjour !

Je me demandais si il existait une notation mathématique pour composer n fois un nombre par une fonction ƒ. J'ai donc une suite de la sorte:

x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x)))…

Qui correspond à composer n fois x par f.

Il y a le sigma pour sommer une suite de nombre; Existe-t-il une façon concise pour représenter ceci? Quel est son nom?
Je ne vois nulle part une écriture qui se passe des points de suspension…

Merci!

Oui, il existe une notation.

On note : \( f(f(x)) = f \circ f(x) \)

Et on peut l'utiliser comme le sigma (ou plutôt comme le pi majuscule des produits, car la composition joue le rôle d'un produit) :

\( \circ_{i=1}^n f_i= f_1 \circ f_2 \circ \cdots \circ f_n \)

(Eh ben, il ne met pas les indices correctement ! Normalement cette notation existe, avec {i=1} en dessous du rond, et {n} au-dessus, donc ça devrait faire pareil en LaTeX, mais peut-être que non. Bizarre...)

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Edité par robun 27 mai 2017 à 22:53:12

Superbe! C'est exactement ça!

Je connaissais le "rond", mais jamais vu la notation avec les indices, c'est bien cela que je cherchais.

Merci Robun!

J'ai un doute sur ces notations.  Pour représenter fof ... ofof n fois, on écrit fn, mais n est en indice, ou en exposant ? Pour moi, n est en exposant. Tout simplement dirais-je.

Pour moi aussi n est en exposant. En tout cas, on le voit très souvent noté comme ça. Après, dans le doute, tu précises les notations que tu adoptes.

Ce genre d'écriture n'est pas unique. Par exemple, je n'ai jamais vu passé l'écriture de Robun mais très souvent (voir tout le temps) vu \(f^n = f \circ f \circ ... f\).

S'il y a une seule fonction, on utilise l'exposant :

\( f \circ f \circ \cdots \circ f = f^n \)

De même que :

\( x \times x \times \cdots \times x = x ^n \)

C'est en effet cette notation (\( f^n\) ) qui répond à la question initiale. Si, hier, j'ai parlé du symbole rond, c'est parce jojolaglaise se demandait s'il existait une notation similaire à la notation sigma. C'est justement le cas de la notation rond indicé. Bref, je me suis un peu emballé, et j'ai parlé d'une notation plus générale. Car en effet on peut très bien noter :

\( \circ_{i=1}^n f = f^n \)

de même que :

\( \prod_{i=1}^n x = x^n \)

Mais l'intérêt du rond avec indices, c'est bien sûr si on compose une suite de fonctions. Écrire :

\( f_1 \circ f_2 \circ \cdots \circ f_n = \circ_{i=1}^n f_i \)

est alors analogue à :

\( x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n = \prod_{i=1}^n x_i \)

et là on ne peut plus utiliser la notation puissance puisqu'on ne compose/multiplie pas les mêmes objets.

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Edité par robun 28 mai 2017 à 22:36:26

Ohhhhh !!! 

Là on vole très très haut. A mon avis, notre ami jojolaglaise ne vole pas aussi haut, loin de là.

Merci pour tous ces commentaires très clairs. Grâce à vous je peux désormais terminer ma thèse sur l'algèbre mandibulaire tranquillement et me poser un peu. On se cogne par là-haut.