Bonjour,
Je ne comprend pas une formule :

En nontant {a,b} la paire {a,b} , c'est à dire soit (a,b), ou bien (b,a), pourquoi la paire {a,{a,b}} correspond au couple (a,b) ?

Merci d'avance,
Bonne journée.

Sans contexte ta question me semble un peu floue ( {a,b} n'est pas "soit (a,b), ou bien (b,a)", ce sont des objets de nature différente), "pourquoi la paire {a,{a,b}} correspond au couple (a,b)", que signifie correspond ?

Cela dit tu parles peut-être de l'information que contient chacune de ces notations...
{a,b} est l'ensemble qui contient a et b, sans ordre. {a,b} = {b,a}. La seul info incarnée par cet objet est qu'il contient a et b.
Alors que (a,b) a une autre information : l'ordre des éléments. (a,b) est différent de (b,a).

Or, dans la notation {a, {a,b}}, on retrouve cette information, sous une autre forme. On a bien {a, {a,b}} = {{a,b}, a} mais dans les deux cas "a" a une place privilégiée, ce qui peut être mis en bijection avec le fait que "a" soit le premier élément de (a,b).

Salut,

En théorie des ensembles, (a, b) est simplement une notation qui correspond au set {{a}, {a, b}} par convention.

Note que c'est {{a}, {a, b}} et pas {a, {a, b}}.

L'élément a a la propriété suivante:

Pour tout element c de {{a}, {a, b}}, a appartient à c.

L'élément b a la propriété suivante:

Il existe un unique c dans {{a}, {a, b}} tel que b appartient à c.

Tu peux donc distinguer entre a et b.

En espérant que ça te soit utile!

Avant de poser la question ici, j'ai demandé au prof, et bien qu'il a donné une réponse plus complète, je ne l'avais pas complètement saisie, mais vos deux réponses, répondent à la question d'une autre manière, donc je suppose que c'est différent. En allant sur wikipédia voilà ce que je trouve :

Citation : Wikipédia : Les couples de Kuratowski

Les couples sont définis en théorie des ensembles de la façon suivante :
Pour x et y deux ensembles quelconques, on pose (x,y)={{x},{x,y}}.

.

J'arrive pas à comprendre cette écriture, la page wikipédia confirme donc ma question, on parle bien de paire et de couple, mais la notation de paire incrusté dans une paire je comprend. Que signifie {a, {a,b}} ? Et pourquoi peut-on dire que c'est égale au couple (a,b) ? Ca me dépasse...
Merci en tout cas de vos réponses.

Avant de répondre, je vais faire une petite introduction qui va peut-être sembler n'avoir rien à voir avec la question, mais ça va venir à la fin.

À l'origine, historiquement, les mathématiques étaient divisées en plusieurs domaines : algèbre, analyse, probabilités, géométrie... Mais à la fin du XIXe siècle et au début du XXe, des mathématiciens ont commencé à se poser la question de la cohérence des ces différentes théories entre-elles et à chercher une super-théorie qui pourrait les englober toutes. Ce sera la théorie des ensembles.

Il est possible de recréer toutes les autres notions mathématiques uniquement en terme d'ensembles. Par exemple, pour les entiers naturels, von Neumann les a définis de la façon suivante : 0 est défini comme l'ensemble vide <math>\(\emptyset\)</math>. Puis par récurrence, le nombre <math>\(n+1\)</math> est défini comme étant <math>\(n\cup\{n\}\)</math>. Autrement dit, 1 est <math>\(\{\emptyset\}\)</math>. Puis 2 est <math>\(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\)</math> et ainsi de suite...

Là dessus, on peut ensuite définir les opérations (addition, multiplication, etc), puis les autres nombres (relatifs, rationnels, réels...).

Bien sûr, ça ne veut pas dire que les mathématiciens n'écrivent que des ensembles. Une fois que l'on sait ça, on continue à utiliser les nombres tel qu'on en a l'habitude. Mais on sait que tout cela peut peut se traduire en termes d'ensembles. Bref, pour toutes les notions mathématiques, on peut recréer une structure identique exprimée uniquement en terme d'ensembles. D'un point de vue abstrait, toutes les mathématiques se résument donc à la théorie des ensembles.

À partir de là, la question que tu poses vient naturellement. En mathématiques, il est souvent utile d'utiliser des couples (a,b) où l'ordre de a et b compte. Mais comment faire pour modéliser ça avec des ensembles, puisque dans les ensembles l'ordre ne compte pas ?

Donner juste l'ensemble {a,b} ne suffit pas pour ça. On va donc le mettre dans un ensemble qui contient également l'élément {a} tout seul, de façon à repérer que c'est lui le premier. Ainsi, {{a,b},{a}} signifie "le couple qui contient a et b et dont le premier élément est a". (Le couple (b,a) se note lui au contraire {{a,b},{b}} ce qui n'est pas la même chose, les deux sont donc bien distincts). Ainsi il n'y a plus de confusion, cette notation ensembliste est donc tout à fait adaptée pour représenter les couples.

Bien sûr, on pourrait imaginer d'autres façons de noter les couples qui marcheraient aussi. Mais celle-ci (couples de Kuratowski) est celle utilisée usuellement.

Quelle est la différence entre {a,b} et (a,b) ? Dans {a,b} l'ordre n'a pas d'importance, et dans (a,b), si. Autrement dit, dans (a,b), il y a une "asymétrie" dans les rôles de a et de b ; i.e. ça change quelque-chose si tu intervertis a et b.

La définition des couples de Kuratowski permet d'exprimer cette asymétrie en utilisant seulement la notion d'ensemble, en définissant (a,b) = {{a}, {a,b}}.

Ainsi, dans {{a}, {a,b}}, tu ne peux pas intervertir impunément a et b ( {{a}, {a,b}} différent de {{b}, {b,a}} ).

Que signifie {{a}, {a,b}} ? C'est l'ensemble qui contient a et {a,b}. On peut dire que c'est égal à {{a}, {a,b}} car ces deux notations contiennent les mêmes informations. (bon, du point de vu de Kuratowski on dit simplement que c'est égal par définition).

C'est un peu plus clair ?

EDIT : grillé

Sur la page Wikipédia, on trouve, dans "autre fonction de couplage" :

Citation

On peut aussi utiliser (x,y)={x,{x,y}} mais la preuve de la propriété caractéristique demande l'axiome de fondation.

Qui semble ici être la définition (différente de Kuratowski) sur laquelle bloque Catsoulet (même si on sent bien que le principe est le même)

Si j'ai bien compris la page wikipedia, la propriété caractéristique des couples est la suivante : si <math>\((a,b)=(a',b')\)</math>, alors <math>\(a=a'\)</math> et <math>\(b=b'\)</math>.
Il suffit de vérifier cette propriété avec <math>\(\{a,\{a,b\}\}\)</math>.

Merci de vos réponses, mais je suis toujours à l'ouest.

Notre prof, nous le sort de cette manière : "Comment définir la notion de couple avec des paires ? Il existe plusieurs manières, en voilà une"... et paf il donne la fameuse formule.

Ensuite, pour avoir vu la formule au tableau, il a bien donné : {a,{a,b}}, et non {{a},{a,b}}, est-ce une erreur involontaire ?

Pour moi, quand on parle du couple (a,b), il contient deux élément de bases. Alors que lorsque l'on parle de {{a},{a,b}}, il contient deux élément, donc le deuxième qui en contient deux autres. C'est là que je ne comprend pas. Quand on parle de {a,b}, on parle bien de la paire {1,2} ou bien de {2,1} mais pas de soit {1}, soit {2} soit {1,2}, quand on dit la paire {a,b} elle a bien deux éléments.

Du coup le couple (1,2) je vois pas en quoi il est égal à {{1},{1,2}}, car en triturant la formule, ça peut devenir {{1,2},{1}}, {{2,1},{1}} ou {{1},{2,1}}, mais en quoi cela désigne le couple (1,2) ? Je pense que j'ai mal compris la notion {a,b}, ou du moins je dois mélanger, probablement que le terme de paire m'induit en erreur...

Ce n'est pas une erreur. C'est une manière de faire, mais ce n'est pas celle plus largement adoptée.

En théorie des ensembles, tu as un axiome qui s'appelle l'Axiome de la pair, qui dit que pour tout sets a et b, il existe un set contenant strictement a et b. (En théorie des ensembles, tout est sous forme de set, mais tu peux comprendre a et b comme étant des éléments, des nombres, n'importe quoi...)

Une paire est donc un ensemble qui contient strictement deux éléments. Il n'y a pas d'ordre dans une paire.

Si tu as {a, b} = {b, a}, comment savoir si a est en premier ou en deuxième ? La seul chose que tu peux savoir, c'est si un élément fait partie de l'ensemble ou pas. Aucune notion d'ordre ici.

Pour un couple, l'ordre est important. C'est pourquoi tu dois pouvoir distingué entre a et b dans (a, b).

Ton prof a dit qu'on pouvait représenter une paire à l'aide d'ensembles, et a choisi de dire (a, b) := {a, {a, b}}

Si tu prends l'ensemble {a, {a, b}} là tu as un moyen de distinguer entre a et b, une notion d'ordre.

Ça veut pas dire que l'ordre est directement figé dans la notation, cela reste des ensembles, et donc sans ordre...

{a, {a, b}} = {a, {b, a}} = {{a,b}, a} = {{b, a}, a}

Mais, on a que le premier élément d'un couple représentée par {a, {a, b}} satisfait les points suivants:

a appartient à {a, {a, b}} et il existe un élément de {a, {a, b}} qui contient a.
(En passant, c'est ici qu'on utilise l'axiome de régularité)

Il est donc possible de demander si un élément est le premier élément du couple.

Pour retrouver le deuxième:

b n'appartient pas à {a, {a, b}} et il existe un unique élément de {a, {a, b}} qui contient b

Je crois qu'à force de me répeter la même chose, ça rentre dans ma tête, mais j'avoue que je m'attendais pas du tout à ce genre de réponse.

Merci à vous tous pour avoir répéter encore et encore la même chose .

Comme l'a dit rushia, la propriété caractéristique des couples est <math>\((a,b)=(c,d) \Rightarrow a = c\text{ et }b = d\)</math>.

Ainsi on définit une fonction de couplage comme une fonction qui à a et b associe (a,b) vérifiant la propriété caractéristique des couples.

Cette notion de "propriété caractéristique des couples" correspond à la notion intuitive qu'on a des couples (a,b), et à priori on peut se contenter d'en avoir l'intuition. Mais l'intuition ne satisfait pas la théorie des ensemble et on se demande comment représenter cette idée de couple à partir de seulement la notion d'ensemble ! Et en posant comme fonction de couplage <math>\((a,b) := \{\{a\}, \{a,b\}\}\)</math>, ça marche. On peut vérifier :

<math>\((a,b)=(c,d) \Rightarrow \{\{a\}, \{a,b\}\} = \{\{c\}, \{c,d\}\} \Rightarrow a = c\text{ et }b = d\)</math>.

(en toute rigueur la dernière implication demanderait un peu plus de détails mais ça n'est pas difficile à concevoir)

Alors pourquoi {a,b} ne peut pas être égale à {c,d} ? Comment obtiens-tu tes implications ?

Pourquoi {a,b} ne peut pas être égale à {c,d} ? Bah... si, c'est égal

Avec un peu plus de détails :

(a,b) = (c,d) => {{a},{a,b}} = {{c},{c,d}} => {a} = {c} et {a,b} = {c,d} (on fait correspondre les cardinalités)
Or, {a} = {c} => a = c
et {a,b} = {c,d} => (a = c et b = d) ou (a = d et b = c), or on sait maintenant que a = c donc c'est le premier cas qui est correct, a = c et b = d. cqfd

C'est plus clair ?

Ah ouais... Mais tu démontres une implication, on est pas dans une équivalance, et donc il faut le démontrer dans l'autre sens ?

La réciproque est évidente pour le coup : {{a},{a,b}}={{a},{a,b}}

La réciproque c'est pas si : {{a},{a,b}} = {{c},{c,d}} => (a,b) = (c,d) ?

Non, la réciproque c'est : <math>\((a=c\text{ et }b=d) \Rightarrow (a,b)=(c,d)\)</math>

Ouais, mais je pensais qu'il fallait passer par les notations de paires aussi du coup, mais non. Mais du coup, la démonstration de rivan, ne démontre pas cette notation de paire lié aux couples ?

Pas compris ta (dernière) remarque.
La démonstration de revan démontre le sens direct, la réciproque étant ici évidente (c'est presque comme dire <math>\(a=b \Rightarrow f(a)=f(b)\)</math>), on a montré l'équivalence entre <math>\((a,b)=(c,d)\)</math> et <math>\(a=c\text{ et }b=d\)</math>, c'est-à-dire la propriété caractéristique des couples, en utilisant comme seule information la définition du couple suivante : <math>\((a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}\)</math>.

remarque : on aurait pu faire la même chose avec la définition <math>\((a,b) = \{a,\{a,b\}\}\)</math>, mais il y a une petite subtilité supplémentaire.

"(a,b) = {{a},{a,b}}" c'est une définition que l'on pose. Ce n'est pas une égalité que l'on peut questionner.

Et à partir de cette définition, on veut montrer


L'implication <math>\((a=c\text{ et }b=d) \Rightarrow (a,b)=(c,d)\)</math> est évidente, je n'ai pas pris la peine de détailler !
Il faut donc montrer <math>\((a,b)=(c,d) \Rightarrow (a=c\text{ et }b=d)\)</math>, comme je l'ai fait. Mais ça n'a pas l'air de te convaincre ?

Ben en faite depuis jeudi, j'étais persuadé que l'égalité {a,{a,b}} = (a,b) était une démonstration, et non une définition. C'est dur de s'enlever une idée fausse de la tête comme ça, d'où mes interrogations.

Au final, j'ai compris que : on pose (a,b) = {{a},{a,b}} , c'est une définition. Et pour vérifier sa concordance, on démontre (a,b) = (c,d) si et seulement si a=c et b = d , en passant par la notation ensembliste.

Juste une chose, c'est quoi la subtilité si on prend la notation {a,{a,b}} ?

Merci à vous deux en tout cas, d'avoir insisté ainsi.

Si on a <math>\(\{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}\)</math>, on ne peut pas passer directement à :
<math>\(a=c\text{ et }\{a,b\}=\{c,d\}\)</math> en se basant sur la cardinalité. Car comme <math>\(a\)</math> et <math>\(c\)</math> sont des ensembles (tout est un ensemble en théorie des ensembles) on peut très bien avoir <math>\(a=\{c,d\}\text{ et }c=\{a,b\}\)</math>, il faut alors montrer que ça pose problème, et pour cela il faut utiliser l'axiome de fondation (qui n'est pas toujours inclus dans les axiomes ZF et ZFC selon les sources) : en effet, on a <math>\(a\in c\text{ et }c\in a\)</math>, donc l'ensemble <math>\(\{a,c\}\)</math> ne vérifie pas l'axiome de fondation car <math>\(a\cap\{a,c\}=\{c,d\}\cap\{a,c\}=c\neq\emptyset\)</math> et <math>\(c\cap\{a,c\}=\{a,b\}\cap\{a,c\}=a\neq\emptyset\)</math>.

Ok ça marche ;), un peu compliqué à comprendre, mais à force de relire c'est passé.

Merci encore

Pour dire ça en terme informatique : on a en tête une interface des couples, on veut utiliser un objet (a,b) avec des propriétés bien précises : à partir de (a,b) on peut retrouver a et b et inversement. On cherche une implémentation de ce concept en fonction des outils disponibles, ici la théorie des ensembles. {a,{a,b}} est une implémentation convenable et simple; d'autres implémentations sont possibles, mais l'idée naïve {a,b} ne convient pas, elle a un "bug", car elle ne permet pas de différencier et retrouver a et b : si je te donne {1,2}, on ne sait pas si a=1 ou a=2.

Il y a des définitions du concept de couple qui n'utilisent pas directement la théorie des ensembles. Par exemple, la notion de produit en théorie des catégories est une définition riche et précise de la notion de couple, où on présente l'interface sans insister sur l'implémentation.