Bonjour à tous!

J'ai le système d'équations différentielles suivant:
x'(t) = x-y
y'(t) = 4x+y

J'ai trouvé l'ensemble des solutions complexes qui est:
{<math>\(\alpha e^{(1+2i)t} \times (\begin{matrix} 1 \\ -2i \end{matrix}) + \beta e^{(1-2i)t} \times (\begin{matrix} 1 \\ 2i \end{matrix}) / \alpha , \beta \in \mathbb{C}\)</math>}

Maintenant, j'aimerai obtenir l'ensemble des solutions réelles, mais je ne sais pas comment faire.
Quelqu'un pourrait-il m'indiquer la marche à suivre?

Je trouve bien la même solution que toi, en résolvant le système différentiel proposé.
Pour passer dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> à partir de cette solution complexe, il te suffit de prendre la partie réelle pour x et y !
Tu vérifieras facilement que les solutions réelles trouvées vérifient ton système.

Edit : Je viens de voir que tu avais pris <math>\(\alpha\)</math> et <math>\(\beta\)</math> dans <math>\(\mathbb{C}\)</math>, mais ça ne change rien ; pour t'en convaincre, tu peux les écrire a+ib et reprendre la partie réelle ensuite, et tu t'apercevras que les solutions que tu obtiens vérifient bien ton système différentiel

Salut, voici une méthode générale ; je ne dis pas que c'est la meilleure, mais elle a le mérite de fonctionner dans tous les cas :

• Les solutions réelles sont des solutions complexes particulières.
• Une solution complexe X est réelle si et seulement si <math>\(X - \bar{X} = 0\)</math>.

Dans ton cas, posons <math>\(X_0 = e^{(1+2i)t}\begin{pmatrix}1 \\-2i\end{pmatrix}\)</math>.

L'ensemble des solutions complexes est engendré par <math>\((X_0, \bar{X_0})\)</math>.

Prenons une solution complexe quelconque <math>\(X = \alpha X_0 + \beta \bar{X_0}\)</math> avec alpha et beta complexes.

Alors <math>\(X - \bar{X} = (\alpha X_0 + \beta \bar{X_0}) - (\bar{\alpha} \bar{X_0} + \bar{\beta} X_0) = (\alpha - \bar{\beta}) X_0 + (\beta - \bar{\alpha})\bar{X_0}\)</math>.

Or <math>\((X_0, \bar{X_0})\)</math> est une famille libre d'où : <math>\(X - \bar{X} = 0 \Longleftrightarrow \alpha = \bar{\beta}\)</math>.

On obtient que les solutions réelles s'écrivent sous la forme <math>\(X = \alpha X_0 + \bar{\alpha} \bar{X_0} = 2Re(\alpha X_0)\)</math> avec alpha complexe.

À partir de là, comme on sait que l'ensemble des solutions est de dimension 2, tu peux chercher deux solutions réelles indépendantes, et obtenir ainsi une base de l'ensemble des solutions réelles.

Par exemple :

• avec <math>\(\alpha = \frac{1}{2} = \bar{\alpha}\)</math> on obtient <math>\(\frac{X_0 + \bar{X_0}}{2} = Re(X_0)\)</math> solution réelle ;
• avec <math>\(\alpha = \frac{1}{2i} = -\bar{\alpha}\)</math> on obtient <math>\(\frac{X_0 - \bar{X_0}}{2i} = Im(X_0)\)</math> solution réelle.

Ces solutions sont bien une base : si on pose S l'ensemble des solutions complexes,

• <math>\(X_0 = Re(X_0) + i Im(X_0)\)</math> et <math>\(\bar{X_0} = Re(X_0) - i Im(X_0)\)</math>
  
  donc <math>\(S = Vect(X_0, \bar{X_0}) \subset Vect(Re(X_0), Im(X_0))\)</math>
  ;
  
• or <math>\(Vect(Re(X_0), Im(X_0)) \subset S\)</math>
  
  car <math>\(Re(X_0)\)</math> et <math>\(Im(X_0)\)</math> sont des solutions.

Ainsi les solutions réelles, s'écrivent <math>\(X = \alpha Re(X_0) + \beta Im(X_0)\)</math> avec alpha et beta réels.

Cette démonstration n'a pas utilisé l'expression de <math>\(X_0\)</math>, le résultat est donc vrai dans le cas général d'un ensemble de solutions généré par <math>\((X_0, \bar{X_0})\)</math>.

Après calcul, pour ton équation, on obtient que les solutions réelles s'écrivent
<math>\(X = \alpha e^t \begin{pmatrix}cos(2t) \\2sin(2t)\end{pmatrix} + \beta e^t \begin{pmatrix}sin(2t) \\-2cos(2t)\end{pmatrix}\)</math> avec alpha et beta réels.

(On aurait pu montrer directement que <math>\(Re(X_0)\)</math> et <math>\(Im(X_0)\)</math> étaient deux solutions réelles indépendantes.)

Sinon tu peux aussi faire comme ceci, en notant (S) ton système.
<math>\((S) \Leftrightarrow Y' = AY\)</math>
Avec <math>\(Y' = \binom{y'}{x'}\)</math>, <math>\(Y' = \binom{y}{x}\)</math> et <math>\(A = \begin{pmatrix}1 & -1\\ 4 & 1\end{pmatrix}\)</math>

Ensuite, tu as deux méthodes. Je te propose celle avec l'exponentielle de matrice :
<math>\(Y = e^{tA}Y_{0} = Pe^{tD}P^{-1}Y_{0}\)</math>
Puisque ta matrice est diagonalisable.
De plus, pas besoin de calculer <math>\(P^{-1}T_{0}\)</math>, le produit étant une constante.
Plus qu'à utiliser tes conditions initiales si tu en as.

Le temps de calcul est réduit à environ 3 minutes, le temps de diagonaliser ta matrice 2x2.

EDIT : Et voila la seconde méthode.
En partant de là :
<math>\((S) \Leftrightarrow Y' = AY\)</math>
<math>\((S) \Leftrightarrow P^{-1}Y' = DP^{-1}Y\)</math>
En posant <math>\(X = P^{-1}Y\)</math> ton système revient à résoudre deux équations différentielles linéaires du premier ordre indépendantes.
Plus qu'à résoudre simplement chacune des équations.

Cette méthode te demande également la diagonalisation de A, mais en plus de calculer <math>\(P^{-1}\)</math>.
C'est pas beaucoup plus long et ça permet de vérifier.