Bonjour, j'espère que vous allez bien,

Merci de bien vouloir me montrer l'erreur dans le résultat suivant :

x+x+x+......+x (x fois) = x²

En faisant la dérivée, on obtient :

1+1+1+1+.....+1(x fois)=2x

<==> x=2x <==>1=2

Or, il est évident que le dernier résultat est faux. Donc où me suis-je trompé ?

Merci pour votre aide précieuse par avance.

x doit être un entier naturel. (le [ x fois ] l'impose)

Dans ce cas , la fonction est f(n) = n² où n est un entier naturel.

Cette fonction N->R n'est pas dérivable

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Edité par neuneutrinos 2 décembre 2020 à 12:05:03

Merci neuneutrinos. 

Mais une petite question si vous le permettez : pourquoi x fois impose à x d'être dans N, je veux dire x fois  veut tout simplement dire une multiplication.

Merci une autre fois pour votre compréhension.

La dérivée de f, c'est la limite de  (f(x+a)-f(x))/a quand a tend vers 0.

Quand tu calcules f(x+a)-f(x) avec ton écriture x+x+x+...+x, ça donne quoi ?

De manière générale, quand on écrit une formule avec des points de suspension, il y a toutes les chances que ça finisse avec une erreur.

Quand on écrit :

x+x+x+......+x (x fois)

le « x fois » indique que x est le nombre de termes. Le nombre de termes. Un nombre de termes est forcément un entier naturel.

Un dernier truc : quand on écrit f(x) = x+x+x+......+x (x fois), en fait ça définit une suite : \( f_n = n^2 \). Et qu'est-ce qu'on appelle la dérivée d'une suite ?...

(On pourrait s'amuser à définir la dérivée d'une suite. Par exemple on pourrait calculer le taux d'accroissement \( \dfrac{f_{n+a}-f_n}{a} \) quand l'entier (relatif) \(a\) est le plus proche possible de 0, donc lorsqu'il est égal à -1 (dérivée à gauche) ou +1 (dérivée à droite) (*). On trouvera 2n-1 et 2n+1 dont la moyenne fait pile poil 2n − la coïncidence avec la fonction réelle correspondante vient, je crois, de ce que cette dernière a une dérivée constante.)

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(*) Avec cette définition une suite est croissante si et seulement si sa dérivée (à gauche ou à droite, peu importe) est positive sur tout N.

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Edité par robun 5 décembre 2020 à 13:56:37

robun a écrit:

Un dernier truc : quand on écrit f(x) = x+x+x+......+x (x fois), en fait ça définit une suite : \( f_n = n^2 \). Et qu'est-ce qu'on appelle la dérivée d'une suite ?...

...

Alors ça existe, c'est le calcul différentiel discret. En gros, on définit un opérateur Δ ainsi : pour toute fonction f:ℕ→ℕ, (Δf)(n)=f(n+1)-f(n).

On a alors des relations intéressantes comme :

• Δc = 0 avec c une constante
• Δ(af+bg) = aΔf + bΔg avec a,b des constantes f,g deux fonctions de ℕ dans ℕ
• Δ(fg)=(Δf)g + f(Δg) + ΔfΔg
• ΔΣf=f
• ΣΔf = f(b+1)-f(a) pour une somme de a à b
• les puissances tombantes jouent un rôle similaire aux puissances → xₙ=x(x-1)…(x-n+1) , Δ(xₙ)=n xₙ₋₁

…