Bonjour,

j'aimerai savoir comment faire pour passer d'une équation complexe à une équation linaire comment pour l'ensemble de Mandelbrot ?
lien ici

D'avance merci pour votre aide.

Bonjour.

C'est plus un système non-linéaire réel qu'on obtient en fait ... (EDIT : merci nabucos, je corrige)

...cela dit, je suis vraiment épaté qu'on puisse connaître l'ensemble de Mandelbrot sans pour autant connaître <math>\(\Re z\)</math> et <math>\(\Im z\)</math> (parties réelles et imaginaires d'un complexe)...

...allez, zou, juste parce que comme ça, j'aide : si <math>\(z_{n+1}={z_n}^2+c\)</math>, et en notant <math>\(x_n=\Re z_n\)</math>, <math>\(y_n=\Im z_n\)</math>, alors <math>\(\Re z_{n+1}=\Re\left({z_n}^2+c\right)=\Re{z_n}^2+\Re c\)</math>. Or <math>\({z_n}^2=\left(x_n+iy_n\right)^2={x_n}^2-{y_n}^2+2ix_ny_n\)</math>.

Au final, on se retrouve avec (identification des parties réelles et imaginaires) :

<math>\(\left\{\begin{array}{r@{\ =\ }l}x_{n+1} & {x_n}^2-{y_n}^2+\Re c \\y_{n+1} & 2x_ny_n+\Im c \\\end{array}\right.\)</math>

QED.

Bonjour,
Une indication, si j'interpréte correctement la demande
Car la question mériterait d'être précisée.Je comprends a priori le passage complexe - réel et non complexe - linéaire (?) .
En tout cas, dans l'exemple auquel renvoie le lien, l'équation n'est pas linéaire.
De plus l'équivalent d'une équation complexe sera un système de deux équations réelles et non une, comme le montre ce même exemple.
Elles sont obtenues par identification des parties réelles et imaginaires après remplacement de z par x+iy et développement.

Donc de façon générale, si on a une équation f(z)= c = a+ib, on cherchera à exprimer f(z) sous la forme:
f(z)=f(x+iy)=P(x,y)+iQ(x,y)
et par identification , on aura les deux équations réelles P(x,y) = a et Q(x,y) = b.

Remarque
la question inverse fait un lien avec les fonctions analytiques.
Etant donnés P(x,y) et Q(x,y), existe -il f(z) telle ue f(z)=f(x+iy)=P(x,y)+iQ(x,y)
Dans le cas général la réponse est non, et la fonction est une fonction F(z,z*),de z et z* conjugué de z.
La classe retreinte des fonctions pour lesquelles la réponse est positive est celle des fonctions analytiques.

@nabucos : j'ai pas compris là, on pose f(x+iy)=P(x,y)+iQ(x,y) et c'est fini À moins que tu ne voulusses (? ) une régularité particulière pour ta fonction ?

Bonjour,
@krosien
je ne saisis pas la remarque
ce que je veux simplement dire c'est que, si j'ai une équation de la variable z , je trouve deux équations de la variable réelle en remplaçant z par x+iy et en identifiant parties réelles et imaginaires, ce qui ne fait qu'expliciter le mode de calcul fait dans le document auquel renvoie le lien.
Je n'ai pas réfléchi à la question, mais séparer explicitement partie réelle et imaginaire n'est d'ailleurs peut être pas toujours si simple, si f(z) est une fonction "tordue" de z

Tu dis "Etant donnés P(x,y) et Q(x,y), existe-il f(z) telle que f(z)=f(x+iy)=P(x,y)+iQ(x,y)". La fonction f définie par <math>\(\forall z \in \mathbb{C}, f(z)=P(\Re (z), \Im (z))+iQ(\Re (z), \Im (z))\)</math> convient parfaitement !
Peut-être que c'est le fait d'utiliser les opérateurs de partie réelle et de partie imaginaire qui te dérange ?

Moi quand je lis le post de nabucos, on part de <math>\(f(z)\)</math> pour en tirer les fonctions harmoniques <math>\(F(x,y)\)</math> et <math>\(G(x,y)\)</math> (pas l'inverse).

Pour le fait qu'on puisse en analyse complexe considérer des fonctions <math>\(f(z,\bar z)\)</math> est pour ma part une remarque quelconque (i.e. hors sujet ). le post n'a rien à voir avec un problème de fonctions analytiques, de fonctions holomorphes ou je ne sais quoi d'autre