Bonjour,

Un ami m'a dernièrement proposé un problème d'optique, il peut être connue, mais je l'ai trouvé bien intéressant :

Nous avons un point source de lumière. Quelle est la forme du miroir que nous devant mettre pour que tous les rayons lumineux soient parallèle, aient tous dans la même direction et tous ça après s'être réfléchis sur le miroir une seule fois, donc tous les rayons sont lancés depuis le point, ils se réfléchissent sur le miroir une seule fois, puis ils sont tous parallèles .

Un cône sans base retourne, la source dans son pique coter interne? Théoriquement de taille infinie.

Je sais pas si ton histoire de cône marche mais y'a beaucoup plus simple : on place la source lumineuse au foyer d'un miroir parabolique.

Citation : Pierre89

Je sais pas si ton histoire de cône marche mais y'a beaucoup plus simple : on place la source lumineuse au foyer d'un miroir parabolique.

Est-ce que tout miroir parabolique fera l'affaire ?, mais je crois qu'il y aura des rayons qui n'iront pas en parallèle avec les autres, sinon, peut-tu nous faire un petit dessins ? .

Tu es d'accord qu'il me suffit de montrer ce qui suit :

Citation : Condition suffisante (et en fait nécessaire également)

Pour un point M de la parabole de foyer F, on note H son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. Alors, la tangente en M à la parabole est la bissectrice de l'angle <math>\((\vec {MF}, \vec {MH})\)</math>.

Voilà un dessin illustratif. Je ferai la démo demain, là je suis un peu fatigué.

Citation : Preuve

Soit, comme dans l'énoncé, M un point de la parabole d'équation <math>\(y = \frac{x^2}{2p}\)</math> de foyer donc <math>\(F(0,p/2)\)</math>. Pour les besoins de la démonstration on s'intéressera plutôt à H' le projeté de M sur la directrice <math>\(\Delta : y = -\frac p 2\)</math>.

Alors, la tangente en <math>\(M(a,\frac{a^2}{2p})\)</math> (notée <math>\(T_M\)</math>) est de vecteur directeur <math>\(u = (1, \frac a p)\)</math>.
De plus, <math>\(\vec {FH'}(a, -p)\)</math>. Donc <math>\(\langle u, \vec{FH'} \rangle = a - p \frac a p = 0\)</math>, d'où u est orthogonale à la droite (FH').

Remarquons maintenant que MH' = MF (c'est en fait la motivation de la construction des paraboles). En effet, <math>\(MH'^2 = (\frac{a^2}{2p}+\frac p 2)^2\)</math> et <math>\(MF^2 = a^2 + (\frac{a^2}{2p} - \frac p 2)^2 = a^2 + \frac{a^4}{4p^2} - \frac{a^2}{2} + \frac{p^2}{4} = \frac{a^4}{4p^2} + \frac{a^2}{2} + \frac{p^2}{4} = MH'^2\)</math>.

Ainsi, MFH' ets isocèle en M, et <math>\(T_M\)</math> passant par M est orthogonale à (FH'). Donc <math>\(T_M\)</math> est la hauteur issue de M, donc la bissectrice de l'angle en M de ce triangle. CQFD.

J'y est penser mais sa ne marcheras pas, au mieux si le miroirs est infinie, sa réfléchiras que la moitie des rayons.

Pourquoi donc ? Le seul rayon qui ne se réfléchit pas est celui partant du foyer selon l'axe de symétrie et à l'opposé du sommet, il est donc déjà dans la bonne direction.

(Bien sûr, je prends le miroir infini.)


P.S. : Ikariel, fais un peu attention à ton orthographe, j'ai parfois du mal à te comprendre.