Bonjour, je voulais savoir si à l'infini on pouvait construire un plan avec des cercles s'il vous plaît.

Voici un exemple de début d'itération que j'ai fais :

Si je m'arrête jamais je vais finir par faire un plan ? 

S'il vous plaît.

Merci beaucoup !

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Edité par Ryan Carrier 11 décembre 2018 à 9:22:56

A l'infini, oui, tu vas recouvrir le plan complet. Mais comme l'infini c'est très loin, et que l'infini que tu cherches , il est beaucoup plus loin que d'autres infinis habituels, Ca va demander un temps infini.

Commence déjà par recouvrir un carré. Là aussi, il va falloir un nombre infini de cercles. 

tbc92 a écrit:

A l'infini, oui, tu vas recouvrir le plan complet. Mais comme l'infini c'est très loin, et que l'infini que tu cherches , il est beaucoup plus loin que d'autres infinis habituels, Ca va demander un temps infini.

Commence déjà par recouvrir un carré. Là aussi, il va falloir un nombre infini de cercles. 

Merci beaucoup et est ce que l'infini de temps pour construire le plan avec des cercles "est plus grand" que l'infini de temps pour construire le plan avec des triangles ? Des Hexagones ? Des Pentagones ? S'il vous plaît

Merci beaucoup 

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Edité par Ryan Carrier 12 décembre 2018 à 5:32:17

Avec des hexagones / des triangles / des carrés / des rectangles, le pavage est simple, et il faut une infinité d'objets parce que la surface du plan est infinie.  On a en gros un infini d'ordre 2  (l'axe des x * l'axe des y).

Avec des cercles, on a en plus la problématique de boucher les petits trous, avec des cercles infiniment petits. On a donc un infini d'ordre 3 (voire 4 ?)

Avec des pentagones réguliers, on est dans la même configuration qu'avec des cercles. Il va falloir des pentagones infiniment petits pour boucher les trous. Avec des pentagones de forme quelconque, on est dans la même configuration qu'avec les carrés/triangles ...

Sauf si tu prends un cercle de taille infinie dès le début, mwahahaha.

Blague à part : Disons que pour remplir un simple rectangle avec juste des cercles qui sont inclus dans le rectangle, il te faudra déjà une infinité de cercle, donc rien que ca, c'est foutu, alors qu'avec des triangles... Bah tu traces la diagonale et hop c'est fini, tu as 2 triangles.

Dès que tu peux faire un pavage simple pour remplir un plan, ça sera simple. Donc plus rapide qu'avec des cercles.

j'imagine que les cercles doivent être disjoints?

est ce qu'on prend la definition usuelle de "plus grand", càd un ensemble A est plus grand (strictement) que un ensemble B si il n'y a pas de surjection de A dans B?

Dans ce cas je pense que il faut autant de cercles que de carré pour paver le plan (de même pour triangles, hexagones).

edit: en fait, c'est pas facile de couvrir le plan de cercles, comment il faut couvrir les trous?

edit: apres quelques recherches, j'ai trouvé ce lien:

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rjoly/Documents/empilage.pdf 

apparement, il est impossible de paver le plan avec des cercle (plutôt des disques en fait)! 

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Edité par poipoi34 13 décembre 2018 à 2:53:39

La question posée par Soupedog conduit à des développements mathématiques ardus dont poipoi34 a donné un exemple. Voici un autre développement sur les empilements de cercles sans doute  plus approfondi  et  compréhensible ... pour les initiés  , simplement pour montrer la non trivialité de la question https://savoirs.usherbrooke.ca/bitstream/handle/11143/5761/MR91015.pdf?sequence=1 (cf chapitre 2 en particulier)

Il existe de nombreux  articles, y compris    de façon plus générale sur  les empilements dans \(\mathbb{R}^n\), tous à peu prés mathématiquement incompréhensibles, au moins au niveau des démonstrations,  si on n' est pas membre de la sphère restreinte des topologues de haut vol.

Intuitivement,   on conçoit  qu'il y a une infinité d’empilements possibles de cercles de rayons arbitraires dont on peut chercher à dégager des propriétés communes et que chacun constitue un ensemble fractal.  Les constructions d'empilements se poursuivent à l'infini en zoomant sur les trous laissés par un empilement donné.

Comme dans cet exemple très illustratif, 
 https://www.mathcurve.com/fractals/baderne/baderne.shtml ,
on peut chercher à mieux expliciter certains ensembles basés sur des règles constructives  simples... ici la baderne d'Apollonius  dont la dimension fractale est de 1.037 selon le lien  . (   conjectures: la dimension fractale est elle spécifique d'un empilement donné ...? vers quoi tend la surface résiduelle d'un ensemble indénombrable  de trous dont la surface individuelle tend vers zéro ) 

De fil en aiguille, si on poursuit la recherche sur le sujet, le nombre d'article devient quasiment fractal ! 

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Edité par Sennacherib 13 décembre 2018 à 11:06:33

le lien que j'ai donné demande des connaissance de topologie, mais répond à la question posé (càd peut on paver le plan de disques de rayon non nulles) en 2 pages (en utilisant le théorème de baire).

la question posé est un cas particulier du theoreme 2, puisque les disques de rayon non nulles sont des fermés convexe d'interieur vides.

Donc c'est vrai que la demonstration est inaccessible si on n'a jamais vu de topologie, mais au moins on connait la réponse!

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Edité par poipoi34 13 décembre 2018 à 13:08:00