Bonjour a tous,

Je suis bloqué sur une question de dynamique relative a la machine d'atwood :

Citation

Deux hommes de même masse sont placés de part et d'autre d'une corde passant par une poulie.(on neglige les frottements). Un des deux tire sur la corde pour monter( il accélère donc). Que se passe-t-il pour lui-même et son compagnon ?

J'ai beau y réfléchir je ne trouve pas, selon la machine d'atwood si G1=G2 alors la tension du cable T1=T2
Or si il accélère vers le haut T1<G1, T2 serait-il aussi plus petit que G2 ? Il monterait tout les deux (impossible non ?)

Quelqun a une idée ?
Merci d'avance

Si il tire en montant sur la corde en se déplaçant sur la corde
je pense qu'ils vont monter tout les deux a la même hauteur, il y a la force qu'il utilise pour monter se transmet dans toute la corde et donc l'autre va subir une force qui va le tirer vers le haut
comme ils ont même masse.

Bonsoir,

je pense que tu devrais prendre le temps (si tu en disposes, bien sûr) de faire une étude complète de ce système, c'est très intéressant et je pense que tu vas pouvoir déduire de tout ça, la réponse à la question que tu te poses

J'ai beau faire un schéma complet, je n'arrive pas à en desuire une solution car la corde doit etre tendu donc si un monte l'autre descend non ? Alors il me parait logique qu'il ne bouge pas mais pourquoi T1<G1 alors ?

Sinon merci de vos réponses

Non, parce qu'en tirant sur la corde, il change sa longeur : attache une ficelle en l'air, et tire dessus comme si tu voulais monter pour t'en convaincre.
Pourquoi serait-ce impossible qu'ils montent tous les deux ?

+1

S'il tire sur la cordes, il réduit la distance de G2 à la poulie. C'est logique, Donc les deux montent.

Bonjour,
Pour répondre plus précisemment, on peut formaliser le problème en appliquant le principe fondamental de la dynamique.
On peut partir de la machine d'Atwood de référence avec deux masses <math>\(\[ m_{1},m_{2} \]\)</math>.
Le P.F.M. appliqué à chaque masse donne:
<math>\(\[ m_{1}a_{1}=T_{1}-m_{1}g \]\)</math>
<math>\(\[ m_{2}a_{2}=T_{2}-m_{2}g \]\)</math>
Pour un système idéal ( fil inextensible, inertie de la poulie négligée, on a :
<math>\(\[ T_{1}=T_{2} \]\)</math>, <math>\(\[ v_{1}+v_{2}=0 \]\)</math>, <math>\(\[ a_{1}+a_{2}=0 \]\)</math>

On en déduit immédiatement la relation de base pour les accélérations de la machine d' Atwood:
<math>\(\[ a_{2}=-a_{1}=\dfrac{m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}g \]\)</math> ;

Si maintenant (2) cherche à monter avec une accélération <math>\(\[ \gamma \]\)</math>, en le supposant idéalement solidaire de la corde , et si <math>\(\[ a_{1} \]\)</math> désigne toujours l'accélération de (1) immobile par rapport à la la corde, (2) va avoir une accélération totale égale à <math>\(\[ a_{2}=-a_{1}+\gamma \]\)</math> ( l'acclération propre qu'il se donne en cherchant à grimper est plus ou moins contrariée par le fait que la corde est mobile)
Le PFD appliqué à (2) donne alors :
<math>\(\[ m_{2}(-a_{1}+\gamma )=T_{2}-m_{2}g \]\)</math>
Tenant compte toujours de l'égalité des tensions pour une machine idéale, on aura aprés calcul

<math>\(\[ a_{1}=-\dfrac{m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}g +\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\gamma\]\)</math>

<math>\(\[ a_{2}=\dfrac{m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}g +\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\gamma\]\)</math>

On constate que dans le cas particulier de deux masses égales, le grimpeur et la masse fixe s'élévent avec la même accélération <math>\(\gamma /2\)</math>
On peut vérifier sur ces expressions que si le grimpeur (2) est beaucoup plus lourd que (1), il descendra malgré ses efforts. Pour une situation donnée, il suffit d'écrire la nullité de son accélération totale pour calculer <math>\(\gamma\)</math> mini le laissant immobile dans le repère fixe.

Si la condition initiale est un système posé au sol avec <math>\(\[ m_{1} > m_{2}\]\)</math>, on peut calculer l'accélération minimale du grimpeur pur décoller la masse <math>\(\[ m_{1} \]\)</math> soit <math>\(\[ a_{1} >0 \]\)</math> d'où la valeur limite:
<math>\(\[ \gamma=\dfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{2}}g \]\)</math>
Et on trouve logiquement que tant que l'accélération de (1) est nulle , non décollement, le grimpeur monte avec l'accélération <math>\(\gamma\)</math> comme pour une corde fixée.

Pour compléter, on peut tenir compte de la poulie. Ceci va se traduire par des tensions T non égales reliées via le théorème du moment cinétique par:
<math>\(\[ R(T_{1}-T_{2})=MK^{2}\ddot{\theta} \]\)</math>
En supposant l'absence de glissement corde-poulie,
<math>\(\[ a=R\ddot{\theta} \]\)</math>
On obtient la relation entre les tensions <math>\(\[ T_{1}-T_{2}=\dfrac{MK^{2}}{R^{2}}a \]\)</math> avec laquelle les calculs précédents sont à reprendre.

Ne peut-on pas envisager une approche énergétique ? Qui amènerait plus rapidement le fait que les deux corps se mettent à la même altitude ?

Bonjour
@Binariman
Compte tenu de la question et de commentaires plus intuitifs que rigoureux , j'ai un peu ( excessivemen?) détaillé la mise en oeuvre du principe fondamental de la dynamique.
...Mais il n'y a que deux équations de base.

En fait, dans un tel cas , je ne suis pas sûr qu'une approche énergétique apporte une simplification notable pour chercher ces équations du mouvement , car aprés avoir calculé l'énergie totale du système , on va finalement les obtenir en appliquant ( même si c'est implicitement ) ... le formalisme de Lagrange.
A mon avis, l'intérêt de l'approche énergétique ( Lagrangienne ou Hamiltonienne) est surtout de faciliter la mise en équation pour des sytèmes complexes, en particulier lorsqu'on est amené à utiliser des coordonnées ou des impulsions généralisées .
Les problèmes simples peuvent bien sûr servir pédagogiquement à comprendre ces approches, sinon le P.F.D. les résoud aussi efficacement et avec peut être une compréhension plus physique .