Salut,

J'aimerais savoir comment a t on trouvé pi.
Car j'avais essayé sur ma calculette de faire un cercle, en n'utilisant que la fonction pixelon, et ce fut, il faut avoué, très dur!

j'aimerais donc comprendre aussi cos,sin, et tan. Parce que j'ai l'impression que tout le monde s'en sert sans vraiment comprendre profondément la chose.

Et donc, comment faire un cercle avec la fonction pixelon. Si possible, remplacé les cos,sin,ou tan, par leur calculs. Enfin bref, tout ça est obscure pour moi

Merci

Pi, au départ, on l'a calculé en traçant des polygones dans des cercles et en repérant certaines longueurs (j'aimerais bien en savoir plus, d'ailleurs).
Par contre, pi n'est pas un nombre comme les autres, il est transcendant, il n'est donc la solution d'aucune équation (impossible donc, de résoudre la quadrature du cercle, c'est-à-dire tracer un cercle inscrit dans un carré de même périmètre que lui).

Voilà pour ce que je sais. J'en profite pour suivre.

Ok, Merci !

décidément, tu vas finir par devenir mon professeur

Bé.. écoute plus tard j'essayerai de trouver de A a Z , je dis bien de A a Z, en partant de rien, comment faire un cercle parce que là, tout est... abstrait!

Donc si t'es intéressé, je t'expliquerai quand je saurais. Ou sinon, on peut chercher ensemble

Sinon on peut utiliser une formule comme <math>\(\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)</math>
ou <math>\(\pi=4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\)</math>
Sauf que ça converge très lentement( il faut calculer beaucoup de terme pour avoir une bonne valeur ), je sais pas ce qui est vraiment utilisé pour calculer beaucoup de décimales...

Citation : Yalio

il n'est donc la solution d'aucune équation

Hum précise un peu . Aucune racine de polynôme à coefficient entier non? Parce que <math>\(\cos(x)=-1\)</math> est une équation .

Oui mais la je ne connais rien a ces calculs.

Si quelqu'un a réussi a trouver, alors je peut aussi trouver, en partant de rien.

@leoleo : Put-être. Il y a quand même du second degré pour la qudrature du cercle, donc je ne sais pas trop.
Je crois que c'est la définition d'un transcendant, non ? Comme <math>\(\phi\)</math>, non ?

@rom1504 : Je crois qu'on en est pas encore là, en maths.

Même Wolfram jette l'éponge (sisi !)

Pour faire un cercle avec uniquement pixelon, tu peux tester (avec arrondi) si les coordonnées de chaque pixel vérifie l'équation du cercle?

Yalio > tu n'as pas mis la bonne syntaxe pour wolfram alpha ( il connait pas latex ) : ça ça marche wolframalpha
C'est pas si compliqué :
La deuxième somme c'est 4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-...) par exemple.


Y a bien des formules plus efficaces en fait ( Pi#Computation_in_the_computer_age )

Eh bien j'avais évidement fait une boucle, mais le problème c'est que; suivant le rayon du cercle, il fallait avoir les données les plus précises.

En d'autre termes, une donnée fausse + une donnée fausse, ça fait un grand écart ! Donc je ne peut pas le faire tant que j'ai pas la formule exacte.

Donc j'avais tester avec cos et pi...etc (un calcul qui prenait la valeur des coordonnées x et y du point) je sais plus trop et là, ça marchait.

Mais faire marcher quelque chose sans comprendre de A a Z, je déteste

Ah mais tu veut tracer un cercle en fait ?
Si tu veut faire un programme pour ça tu peut faire par exemple ( ça va faire un cercle de rayon 1 centré en (0,0) ) :
for(a=0;a<360;a++)
{
pixelon(cos(a),sin(a))
}
Je sais que c'est pas la bonne syntaxe pour la boucle, adapte pour le langage de ta calculette ( c'est bien sur ta calculette pixelon ? )

Explication : a c'est l'angle, qu'on fait varier entre 0 et 360° pour faire le cercle entier, cos(a) te donne l'abscisse du point, sin(a) te donne l'ordonnée.

Oui ça, et aussi comprendre pi,cos,sin,tan.

Hum c'est pas aussi simple que ça (le langage on s'en fou tkt)
Car en gros a chaque fois, il me faut les coordonnées de x et y pour pouvoir ensuite placer mon point. (ça, je pense que tu le sais)
Donc trouver une relation parfaite, similaire a celle de cos pi/2 (je sais plus trop, c'est un truc comme ça),
sans utiliser le cos et le pi, c'est impossible?
puisque pi c'est comme une fonction nan?



j'espère que je m'exprime bien... lol

Ok je voie.
L'équation d'un cercle de rayon 1 centré en O c'est <math>\(x^2+y^2=1\)</math>
Donc si tu trace <math>\(y=\sqrt{1-x^2}\)</math> et <math>\(y=-\sqrt{1-x^2}\)</math> pour suffisamment de valeur de x entre -1 et 1 ( essaye un pas de 0.1 peut être ? ) ça va tracer un cercle.

Merci,
là je ne peut pas tester je n'ai pas ma calculette avec moi (je suis chez moi dans environ 2 semaines).
Je pourrais tester en C avec la SDL, mais demain, là je vais aller au lit. héhé^^

(cool ma vie? xD)

Et j'en ai aucune idée si cela est juste, mais je te fait confiance

Bonjour,

Citation : Yalio

Par contre, pi n'est pas un nombre comme les autres, il est transcendant, il n'est donc la solution d'aucune équation (impossible donc, de résoudre la quadrature du cercle, c'est-à-dire tracer un cercle inscrit dans un carré de même périmètre que lui).

Attention à ne pas dire n'importe quoi tout de même...

Comme l'a leoleo, un nombre transcendant est un nombre qui n'est pas racine d'un polynôme à coefficients entiers, ce qui est bien le cas de pi (comme tu l'as justement précisé). En revanche, il existe une infinité d'équations pour lesquelles pi est solution. Une d'entre elle est : <math>\(x-\pi=0\)</math> d'inconnue réelle x.

Ensuite, tu fais un lien douteux entre la transcendance de pi et le fait que sa quadrature est impossible. Je ne sais pas si tu as tort ou raison mais dans tous les cas, je n'ai jamais vu un résultat de ce genre donc cela me semble suspect (du moins non trivial) mais je peux me tromper.

Finalement, ta définition de la quadrature est fausse.

Cela fait quand même beaucoup pour un message...

Bonjour,
Quinze a dit:

Citation

Je ne sais pas si tu as tort ou raison mais dans tous les cas, je n'ai jamais vu un résultat de ce genre donc cela me semble suspect (du moins non trivial) mais je peux me tromper.

Il y a un lien mais il est effectivement non trivial.
La quadrature du cercle revient à la construction à la règle et au compas (CRCA)un carré d'aire <math>\(\[ d^{2}=\pi \]\)</math>
On montre que d est une longueur CRCA si et seulement si d est algébrique de degré puissance de 2. La preuve est une application de la théorie de Galois.
Donc les nombres transcendants ne peuvent être CRCA

@Yalio Un des premiers à avoir fait un calcul pas trop imprécis de pi est Archimède en faisant effectivement des polygones inscrits et circonscrits à un cercle dans De la mesure du cercle que tu peux trouver ici (tu peux récupérer le pdf c'est à la page 164), c'est un peu dur à comprendre, j'avais fait un mémoire d'histoire des maths dessus si ça intéresse quelqu'un je peux l'envoyer par mail...

Citation : nabucos

Bonjour,
Quinze a dit:

Citation

Je ne sais pas si tu as tort ou raison mais dans tous les cas, je n'ai jamais vu un résultat de ce genre donc cela me semble suspect (du moins non trivial) mais je peux me tromper.

Il y a un lien mais il est effectivement non trivial.
La quadrature du cercle revient à la construction à la règle et au compas (CRCA)un carré d'aire <math>\(\[ d^{2} \]\)</math>
On montre que d est une longueur CRCA si et seulement si d est algébrique de degré puissance de 2. La preuve est une application de la théorie de Galois.
Donc les nombres transcendants ne peuvent être CRCA

Il me semble que le coup du degré qui est une puissance de 2 est une condition nécessaire de constructibilité, la condition nécessaire et suffisante est un peu plus compliqué. Par exemple une racine complexe de <math>\(X^4+X^2+1\)</math> n'est pas constructible.

Salut ,
il faut d'abord comment est défini le cercle : c'est l'ensemble des points à qui sont à la même distance , qu'on appelle rayon ,d'un point défini , qu'on appelle le cercle.
Les grecs se sont aperçus que le rapport de la circonférence sur le diamètre eétait constant , quel que soit le diamètre. Cette constante est appelée Pi.
Elle peut aussi être défini comme le rapport de l'aire sur le rayon au carré.
(Je ne sais par contre pas faire la démonstration de la constance du rapport)
Pour calculer Pi , on a commencé par l'inclure dans des polygones pour calculer son aire. Puis on a fait des développements. Je ne sais pas comment on fait maintenant.
La quadrature du cercle est bien liée à la transcendance de Pi , et le théorème de Wantzel affirme que ce n'est pas possible.

J'espère t'avoir aidé.

Bonjour,

Loc1

Citation

Il me semble que le coup du degré qui est une puissance de 2 est une condition nécessaire de constructibilité. la condition nécessaire et suffisante est un peu plus compliqué.

C'est exact, seuls certains algébriques de degré une puissance de 2 est une condition nécessaire de constructibilitésont CRCA.
J'ai été imprécis donc un peu inexact.Mon seul but était de relever la non trivialité de preuve entre quadrature et transcendance
mais pour ne pas dire que je botte totalement en touche, voici je pense une cns...hors sujet que je mets donc en secret!.

C'est pas trivial mais très simple à comprendre : à la règle et au compas, on ne dispose que d'intersections droites-droites, droites-cercles, cercles-cercles. Une droite est représentée par une équation polynomiale de degré 1, les cercles par une équations polynomiale de degré 2. Les intersections peuvent être vu comme une simple résolution d'équations polynomiales. On ne peut donc construire que des nombres qui sont racines de polynômes.

La CNS de constructibilité à la règle et au compas n'est pas bien plus compliquée et ne fait pas vraiment appel à la théorie de Galois proprement dite. On peut comprendre cette démonstration avec un bon niveau terminal ou un niveau sup.

Je retrouverais peut-être le sujet un jour, mais je crois bien avoir eu un DM (ou bien un DS) la dessus en spé.

Bonjour,
Aladix

Citation

C'est pas trivial mais très simple à comprendre

simple à comprendre sans doute, cela ne veut pas dire simple à prouver mais ça dépend de ce que l'on veut prouver

Loc1 m'a fait justement remarquer que ma condition indiquée rapidement sur les nombres CRAC algébriques n'était que nécessaire.
D'où la CNS que j'ai sommairement indiquée
Car , les algébriques constructibles ne sont qu'un sous-sensemble contenant Q mais strictement inclus dans celui des algébriques.

Je peux me tromper, car tout cela commence à dater chez moi, mais si tu prouves cette stricte inclusion ( c'était le but de mon commentaire) avec un niveau terminale, je suis preneur,

Regarde n'importe quelle démonstration de constructibilité. Les outils utilisés sont le théorème de Pythagore, le théorème de Thales et un poil de bon sens.

Ensuite faut juste expliquer ce qu'est une "extension de corps" et hop !
(donc plus niveau sup en effet vu qu'il faut connaitre la définition d'un corps).

Citation : L01c

Par exemple une racine complexe de <math>\(X^4+X^2+1\)</math> n'est pas constructible.

Heu ... oui c'est vrai que construire un carré dont un coté serait un complexe c'est pas facile

On associe bien entendu la droite complexe au plan réel ... ! <math>\(i\)</math> est parfaitement constructible.

Pour calculer Pi, on peut :

1) dessiner un cercle.
2) Y dessiner un triangle équilatéral inscrit
3) retracer le cercle
4) y tracer un carré inscrit
5) retracer le cercle
6) Dessiner un hexagone régulier inscrit.. (si on est doué, on peut faire entre-temps un cercle avec un pentagone régulier inscrit mais je ne sais plus comment ca se dessine ça ^^)...

On remarque, en reliant chacun des points de ces polygones réguliers inscrit dans le cercle au rayon du cercle, qu'on obtient n triangles isocèles dont l'aire est identique... (n=nombre de cotés du polygone régulier)

Cette aire est donnée par la relation : base x hauteur / 2

la hauteur étant le rayon du cercle, il nous reste à déterminer une relation permettant de calculer la longueur de la base en fonction du nombre de coté du polygone régulier inscrit dans le cercle..

Si on appelle l'un de ces triangles isocèles OAB (avec O, centre du cercle)

On cherche donc la longueur du coté AB en fonction du nombre de coté n du polygone régulier.

Par la trigonométrie, on peut trouver cette longueur
<math>\(|AB|= 2*r*sin(\frac{OAB}{2})\)</math> (r = rayon du cercle)

Or, <math>\(OAB = \frac{2\pi}{n}\)</math>

==> <math>\(|AB| = 2*r*sin(\frac{\pi}{n})\)</math>

==> aire d'un triangle isocèle <math>\(= \frac{1}{2}*r*|AB| = \frac{1}{2}*r*2*r*sin(\frac{\pi}{n})\)</math>
<math>\(= r^2*sin(\frac{\pi}{n})\)</math>

Cette formule est valable pour tout polygone régulier inscrit dans le cercle...

En faisant tendre le nombre de coté n du polygone régulier inscrit vers l'infini, on peut le faire tendre vers le cercle avec une erreur infinitésimale (ce qui revient à dire qu'un cercle est un polygone régulier avec une infinité de coté )

L'aire de ce polygone régulier avec une infinité de coté tend donc vers l'aire du cercle...

On sait que l'aire du cercle <math>\(= constante * r^2\)</math> (1)

Grâce au développement ci-dessus, on peut aisément trouver que l'aire du polygone régulier à n coté vaut :

<math>\(n*triangle isocele\)</math>
<math>\(=n*r^2*sin(\frac{\pi}{n})\)</math> (2)

Grâce aux relations (1) et (2) pour n tendant vers l'infini, on peut déduire que la constante que l'on cherche à déterminer (pi) vaut :

<math>\(constante = \lim_{n \rightarrow \infty}} (n*sin(\frac{\pi}{n}))\)</math> (si ca vous gêne d'utiliser pi dans l'expression du sinus, vous pouvez le remplacer par 180°)

Ceci est un cas d'indétermination <math>\(0*\infty\)</math>

... et je ne sais plus la lever... mais on devrait normalement tomber sur Pi :-)

Juste pour la fin ( pour "lever l'indétermination" ) : tu poste h=Pi/n
quand n tend vers l'infini h tend vers 0. Or sin(h) est équivalent à h quand h tend vers 0
Donc n*sin(Pi/n) est équivalent à (Pi/h)*h=Pi pour n qui tend vers l'infini.
Donc ta constante est bien égale à Pi.

bref, on a trouvé une suite convergente, qui converge vers Pi (démonstration ci-dessus)...

On peut donc s'approcher de Pi aussi près que l'on veut en faisant croitre n autant qu'on veut.

(par contre, ma démonstration utilise sinus... pour éviter d'utiliser sinus, ca doit être plus difficile à trouver )

Edit : Maintenant que j'y réfléchis, il suffit d'utiliser Pythagore au lieu de la trigono pour déterminer la longueur du segment AB... et on peut éjecter le sinus :-)

Si tu utilises Pythagore pour enlever les sinus cela va faire intervenir les racines carrées, c'est ce que faisait Archimède dans le lien que j'ai donné : il utilisait une approximation de racine de 3 et faisait de lourds calculs.

Edit :

Citation : Gaïa

Citation : L01c

Par exemple une racine complexe de <math>\(X^4+X^2+1\)</math> n'est pas constructible.

Heu ... oui c'est vrai que construire un carré dont un coté serait un complexe c'est pas facile

J'ai l'impression au vu de ton post que tu ne connais pas grand chose aux nombres constructibles à la règle et au compas c'est pas une raison pour penser qu'il en va de même pour les autres, tu crois vraiment que j'aurai balancé un polynôme de degré 4 au pif sans rien y comprendre ? L'idée d'assimiler les complexes et le plan <math>\(\mathbb{R}^2\)</math> est tellement naturelle (elle est d'ailleurs à la base d'une démonstration de l'existence des complexes).

Bonjour.
Je crois que personne ne l'a encore dit (et cela répondra peut-être aux questions de l'auteur du topic quant aux fonctions trigonométriques) : aujourd'hui, une façon moderne de définir <math>\(\pi\)</math> est la suivante, et elle est assez intrigante (ou jolie?), vue qu'elle montre des liens profonds entre des nombres dont on ne voit a priori aucun lien en terminale : e, i, <math>\(\pi\)</math>.
Tout d'abord, on sait construire la (une?) fonction exponentielle définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>, en considérant la réciproque du logarithme népérien, définie elle-même en tant que la primitive s'annulant en 1 de la fonction inverse.
On montre alors, par une formule de Taylor que <math>\(e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\)</math>
Or l'écriture de la somme qui ne fait appel qu'aux propriétés de corps de <math>\(\mathbb{R}\)</math> a aussi un sens pour les complexes.
On est donc conduit à prolonger l'exponentielle aux complexes en posant : <math>\(e^z=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}\)</math> (on prouve que la limite existe pour tout complexe z).
On prouve alors la formule bien connue (vraies aussi pour les complexes) <math>\(e^{a+b}=e^a e^b\)</math>, et on considère alors l'application <math>\(\phi \; : \; \theta \mapsto e^{i\theta}\)</math> de <math>\(\mathbb{R}\)</math> dans <math>\(\mathbb{C}\)</math>. Celle-ci est un morphisme de <math>\((\mathbb{R},+)\)</math> dans <math>\((\mathbb{U},\times)\)</math> (<math>\(\mathbb{U}\)</math> étant l'ensemble des complexes de module 1). Son noyau (l'ensemble des <math>\(\theta\in\mathbb{R}\)</math> tels que <math>\(e^{i\theta}=1\)</math>) est un sous-groupe de <math>\((\mathbb{R},+)\)</math>, il est donc soit discret, soit dense, et on montre qu'il ne peut pas être dense. Il existe donc un nombre <math>\(a\in\mathbb{R}\)</math> tel que <math>\(\text{Ker } \phi = a\mathbb{Z}\)</math> (le noyau est l'ensemble des <math>\(a\times n, n\in \mathbb{Z}\)</math>).
On pose alors <math>\(\pi=\frac{a}{2}\)</math> (et on reconnaît donc <math>\(e^{i2\pi}=1\)</math>).
On montre alors, avec l'intégration, que ce nombre est celui qui intervient dans la formule de l'aire et du périmètre du cercle.
Pour ce qui est des fonctions cosinus et sinus, ont les définit simplement comme étant la partie réelle et imaginaire de <math>\(e^{i\theta}\)</math> : <math>\(\cos(\theta)=\text{Re}(e^{i\theta})\)</math>, et <math>\(\sin(\theta)=I(e^{i\theta})\)</math>.
On s'aperçoit ensuite, du fait de la propriété <math>\(|e^{i\theta}|=1\)</math> et donc que <math>\(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1\)</math>, que ce sont ces fonctions qui interviennent aussi en géométrie.

Citation : Yalio

Par contre, pi n'est pas un nombre comme les autres, il est transcendant

Pour ce qui est de la transcendance de <math>\(\pi\)</math>, c'est un autre problème (que je ne maîtrise pas), mais il est intéressant de constater qu'en fait, c'est un nombre comme les autres (si on ne considère que son caractère transcendant), car je crois me souvenir que l'ensemble des algébriques est dénombrable, et non celui des transcendants, il y a donc dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> beaucoup plus de transcendants que d'algébriques (ce qui paraît assez fou, vu la difficulté d'exhiber un nombre transcendant).