Si tu utilises Pythagore pour enlever les sinus cela va faire intervenir les racines carrées, c'est ce que faisait Archimède dans le lien que j'ai donné : il utilisait une approximation de racine de 3 et faisait de lourds calculs.
Sinon on peut utiliser une formule comme <math>\(\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)</math>
ou <math>\(\pi=4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\)</math>
Sauf que ça converge très lentement( il faut calculer beaucoup de terme pour avoir une bonne valeur ), je sais pas ce qui est vraiment utilisé pour calculer beaucoup de décimales...
Formule de Ramanujan : <math>\(\pi = \frac{9801}{2\sqrt{2} \displaystyle\sum^\infty_{n=0} \frac{(4n)!}{(n!)^4} \times \frac{[1103 + 26390n]}{(4 \times 99)^{4n}}}\)</math>
Simple et efficace, en revanche la preuve que cette formule est vraie est d'une brutalité sans nom. Chaque itération fournit 8 décimales.
Citation : Yalio
Pi, au départ, on l'a calculé en traçant des polygones dans des cercles et en repérant certaines longueurs (j'aimerais bien en savoir plus, d'ailleurs).
Par contre, pi n'est pas un nombre comme les autres, il est transcendant, il n'est donc la solution d'aucune équation (impossible donc, de résoudre la quadrature du cercle, c'est-à-dire tracer un cercle inscrit dans un carré de même périmètre que lui).
Voilà pour ce que je sais. J'en profite pour suivre.
En fait, avec un peu d'analyse, lorsque tu traces tes polygones, tu découvres que l'aire séparant les arrêtes des bords du cercle tend vers 0 quand le nombre de côté tend vers l'infini.
Tu peux alors montrer que le périmètre du polygone tend vers celui du cercle en question.
Y a plus qu'à compter...
Citation : cetheph
Pour ce qui est de la transcendance de <math>\(\pi\)</math>, c'est un autre problème (que je ne maîtrise pas), mais il est intéressant de constater qu'en fait, c'est un nombre comme les autres (si on ne considère que son caractère transcendant), car je crois me souvenir que l'ensemble des algébriques est dénombrable, et non celui des transcendants, il y a donc dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> beaucoup plus de transcendants que d'algébriques (ce qui paraît assez fou, vu la difficulté d'exhiber un nombre transcendant).
Indeed.
Au passage, un nombre est dit transcendant s'il n'est racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels (donc à un coefficient entier près, entiers).
En fait, la transcendance est une notion relative à un corps, ici le corps est <math>\(\mathbb{Q}\)</math>, mais on pourrait parler de transcendance par rapport à d'autres corps...
Cependant, il n'existe pas de nombre complexe z <math>\(\mathbb{R}\)</math>-transcendant, en effet, si tu prends un complexe z et le polynôme <math>\((x-z)(x-\overline{z})\)</math>, il est à coefficients réels, et annule z...
En fait, avec un peu d'analyse, lorsque tu traces tes polygones, tu découvres que l'aire séparant les arrêtes des bords du cercle tend vers 0 quand le nombre de côté tend vers l'infini.
Tu peux alors montrer que le périmètre du polygone tend vers celui du cercle en question.
Y a plus qu'à compter...
Ah ben oui... Je l'ai fait avec l'aire.. mais pour le périmètre, c'est encore plus simple
Par contre, il faut toujours trouver la longueur d'un coté du polygone régulier... donc, on fait tjrs appel à la trigo non ?
Ah vi, c'est sûr qu'il y a un peu de boulot.
Je crois qu'avec les angles au centre et compagnie, on s'en sort assez bien, je regarderai, ça remonte à ma sup !
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