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point critique d'une fonction à deux variable

Sujet résolu
13 juin 2018 à 13:27:31

salut, j'ai un soucis dans un exercice de Math et je ne sais le résoudre.

" Determiner les points critiques de la fonction f : (x,y) → xey+yex. Preciser leur nature. "

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13 juin 2018 à 20:46:00

Hello.

Juste pour être sur : la fonction est \( f(x,y) = xe^y + y e^x \)  ?
Sinon, ici il s'agit simplement d'appliquer la définition de point critique. Quelle est cette définition dans ton cours ?

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Edité par edouard22 13 juin 2018 à 20:50:17

Un seul ornithorynque vous manque et tout est des canards.
15 juin 2018 à 9:14:38

edouard22 ,oui c'est ça la fonction ce que j'ai .
15 juin 2018 à 9:20:19

la question porte peut-être plus sur la résolution du système auquel la définition conduit que sur la définition elle-même. Elle présente une petite difficulté. 
Parce que si on a cet exercice à faire et que on ne connait pas la définition, ...y a un souci :-°  Surtout que pour préciser la nature, on est supposé connaitre la hessienne.

(edit: écrit avant d'avoir vu le dernier message qui ne répond pas à la question soulevée)

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Edité par Sennacherib 15 juin 2018 à 9:21:56

tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
15 juin 2018 à 16:35:02

AichaFakhry : on ne peut pas t'aider si tu ne donnes pas un minimum de détail. Ici, on ne sait pas ce qui t'arrête. Est-ce que tu bloques dans les calculs ? Si oui, il faut indiquer ces calculs. Est-ce que tu bloques dès le début, c'est-à-dire est-ce que tu ne sais pas comment commencer ? Si oui, il faut répondre à la question d'edouard22 (car elle mène au point de départ de la résolution).

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Edité par robun 15 juin 2018 à 16:35:21

15 juin 2018 à 21:32:54

je bloque au niveau de la resolution de systeme 

exp(x)+xexp(1/x)=0

xy=1 

mon probleme c'est que j'ai pas pu trouver les points critique . Je sais les etapes ce que je dois faire apres la trouvaille de ces points .

15 juin 2018 à 22:32:32

Le système est bon. Petit indice ornithorynquiale est ce qu'une solution simple comme x=1 existe ?

@Sennacherib Pas de faute de frappe, mais je ne voulais pas donner la solution directement :D

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Edité par edouard22 15 juin 2018 à 22:46:12

Un seul ornithorynque vous manque et tout est des canards.
15 juin 2018 à 22:41:03

x=1, cela m'étonnerait, foi d’ornithorynque !  faute de signe ou faute de frappe ... :lol: 

edouard22 a écrit:

Le système est bon. Petit indice ornithorynquiale est ce qu'une solution simple comme x=1 existe ?

@Sennacherib Pas de faute de frappe, mais je ne voulais pas donner la solution directement :D

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Edité par edouard22 il y a 7 minutes


c'est effectivement un faux indice d'ornithorynque ! mais suggérer simplement de chercher une solution simple eut été alors  ... plus simple.

autre remarque: une fois trouvé le point critique suggéré, il faudra  pour être complet vérifier si c'est bien le seul. ( l'énoncé dit: chercher les points critiques )

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Edité par Sennacherib 15 juin 2018 à 23:01:27

tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
16 juin 2018 à 0:53:25

impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

mais est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .

16 juin 2018 à 2:30:33

Il voulait juste te dire qu'il y a une solution évidente à xexp(x)+exp(1/x) = 0. Quand tu l'auras trouvé, il ne te restera qu'à montrer qu'il n'y a qu'une seule solution possible à cette équation et tu auras trouvé tous les points critiques que tu cherches :)

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Edité par DucK97430 16 juin 2018 à 2:31:15

16 juin 2018 à 3:03:46

impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

Attention à bien lire les réponses. Personne n'a dit que x=1 était une solution. La question d'edouard22 était « est-ce qu'une solution simple comme x=1 existe ? ». Le mot « comme » n'est pas là pour rien.

est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .

Résoudre une équation en trouvant une solution évidente est une méthode connue, non ?

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Edité par robun 16 juin 2018 à 3:04:20

16 juin 2018 à 8:42:13

AichaFakhry a écrit:

impossible d'avoir x =1 comme solution de systeme .

mais est ce que l'ideé d'exercice c'est de deviner notre point, je ne pense pas .il faut resoudre le systeme pour savoir les points critiques .


ce système ne peut pas se résoudre explicitement; il faut effectivement "deviner" un point et ensuite montrer que c'est le seul. 
Cette devinette ne me parait pas très difficile, mais bon , en cas de difficulté, un  tracé de la fonction \(e^x+xe^{\frac{1}{x}}\) peut aider . Cela prend 30s sous geogebra.

On verra d'  ailleurs "visuellement" que \(e^x+xe^{\frac{1}{x}}=0\) n'a qu'une solution, mais pour être rigoureux, il faut le montrer explicitement en étudiant les variations de la fonction. 

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Edité par Sennacherib 16 juin 2018 à 8:56:52

tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
16 juin 2018 à 10:53:32

d'accord j'ai trouvé que le point (-1,-1) est un point critique ,ensuite qu'est ce qu'on va faire ?j'ai calculer la derivée mais cela ne m'adait pas à avouer que ce point est le seul point critique !
16 juin 2018 à 14:35:39

Pour le coups, c'est assez rapide :

tu sais que e^x est croissant
La question est de savoir si \( x* \exp( \frac{1}{x}) \) est croissant ou pas. Donc tu dérive \( x* \exp( \frac{1}{x}) \) ce qui te donne :
\( \left( \frac{x-1}{x} \right) \exp( \frac{1}{x} ) \)  ce qui est strictement positif pour x < 0 .

Ta fonction est donc la somme de deux fonctions croissantes. Elle est donc croissante.  donc tu sais que le point que tu as trouvé est bien le seul. :)

La question est maintenant de savoir : quelle est la nature de ce point ? minimum ? maximum ? point scelle ?

Apres, si on veut faire ca grossièrement , on peut dire pour x < 0 :
\( exp( \frac{1}{x} ) = 1 + \frac{1}{x} \) ( par DL de exp en 0 )  et \( exp(x) = 0 \)  Soit :
\( exp(x) + x*exp( \frac{1}{x} ) = 1 + x \) ce qui est une fct linéaire et nulle pour x = -1. :D

En théorie cette analyse n'est vraie que pour x qui tends vers moins l'infini. Ce qui n'est pas vraiment bon pour x=-1. ( en particulier, \( exp(-1) \approx 0.3 \) )

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Edité par edouard22 16 juin 2018 à 14:53:11

Un seul ornithorynque vous manque et tout est des canards.

point critique d'une fonction à deux variable

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