Bonjour,

Je viens solliciter votre aide car je me casse les dents sur un problème d'apparence simple :
On a deux droites perpendiculaires, sécantes en O
Sur l'une d'elle on a placé un point A, tel que 0A=7km, et sur l'autre droite un point B, tel que OB=24

A et B se déplacent à la vitesse de 35 Km/h en direction de O, en restant sur leur droite respective.
Il s'agit de calculer le temps minimal que met un point C, partant de A, pour rejoindre B.

Merci d'avance pour votre aide

Il manque des trucs dans ton énoncé, non ? Le point C, il peut se déplacer où ? A quelle vitesse ?

Effectivement, il manque la vitesse de C : 2km/H
C part de A à un instant t, en direction de l'endroit de la droite passant par B où sera B quand C aura fait son mouvement.

On cherche donc t, de façon à ce que le temps de parcourt de C soit minimal

Intéressant.
Bon, je préviens tout de suite : je n'ai pas abouti par manque de temps, et surtout, je suis convaincu que ma méthode, bien que menant peut-être à une solution correcte, est vraiment trop compliquée pour être la bonne. Je la mets quand même, au cas où elle pourrait inspirer quelqu'un d'autre.
Je ne sais pas quel niveau tu as aussi, mais bon... Si tu as le courage, lis, tu verras bien que ça se complique rapidement en attaquant de front les calculs .

Donc, à tout instant <math>\(t\)</math>, avec des notations évidentes :

<math>\(x_A(t) = x_0 + v_At\)</math>
<math>\(y_B(t) = y_0 + v_Bt\)</math>

Disons qu'à un instant <math>\(t_0\)</math>, le point C part depuis l'emplacement de A, à savoir <math>\(x_A(t_0)\)</math>.
Et disons également qu'il arrive à l'instant <math>\(t_1\)</math> à l'emplacement du point B.
On peut exprimer <math>\(t_1\)</math> en fonction de <math>\(t_0\)</math> : <math>\(t_1 = f(t_0)\)</math>.
De plus, on cherche à minimiser <math>\(t_1-t_0 = f(t_0) - t_0\)</math>, il s'agira donc simplement de déterminer les zéros de l'expression <math>\(f'(t)-1\)</math>.

Sur la durée <math>\(t_1 - t_0\)</math>, le point C a parcouru une distance <math>\(v_C(t_1-t_0)\)</math>, mais aussi une distance :

<math>\(\sqrt{(x_A(t_0))^2 + (y_B(t_1))^2}\)</math>

Élevons l'égalité au carré et tentons de la résoudre en <math>\(t_1\)</math> :

<math>\(v_C^2[t_1^2 - 2t_1t_0 + t_0^2] = (x_0+v_At_0)^2 + y_0^2 + 2y_0v_Bt_1 + v_B^2t_1^2\)</math>

On a donc une équation du second degré :

<math>\((v_B^2 - v_C^2)t_1^2 + 2(y_0v_B+v_C^2t_0)t_1 + y_0^2 - v_C^2t_0^2 - (x_0+v_At_0)^2 = 0\)</math>

On peut calculer son discriminant (je raccourcis le calcul) :

<math>\(\Delta = 4[v_C^2(y_0+v_Bt_0)^2 + (v_B^2-v_C^2)(x_0+v_At_0)^2] > 0\)</math>

(et rien qu'en écrivant ce discriminant qui fait intervenir à la fois <math>\(x_A(t_0)\)</math> et <math>\(y_B(t_0)\)</math>, je parie qu'il y avait un moyen de faire beaucoup plus simple, sans compter que le gros des calculs est encore à venir, avec la jolie dérivée )

On a donc deux solutions réelles pour cette équation :

<math>\(\frac{-y_0v_B-v_C^2t_0 \pm \sqrt{v_C^2(y_B(t_0))^2 + (v_B^2-v_C^2)(x_A(t_0))^2}}{v_B^2-v_C^2}\)</math>

A présent, le souci est que seules les solutions telles que <math>\(t_1 \ge t_0\)</math> sont acceptables.

C'est-à-dire telles que :

<math>\(\pm \sqrt{v_C^2(y_B(t_0))^2 + (v_B^2-v_C^2)(x_A(t_0))^2} \ge v_By_B(t_0)\)</math>

Bon, pour le moment, on va laisser ça de côté... Reprenons notre expression de <math>\(t_1 = f(t_0)\)</math> et passons à l'équation <math>\(f'(t) - 1 = 0\)</math> :

<math>\(\pm [v_C^2v_By_B(t_0) + (v_B^2-v_C^2)v_Ax_A(t_0)] + v_B^2\sqrt{v_C^2(y_B(t_0))^2 + (v_B^2-v_C^2)(x_A(t_0))^2} = 0\)</math>

En élevant au carré :

<math>\([v_C^2v_By_B(t_0) + (v_B^2-v_C^2)v_Ax_A(t_0)]^2 = v_B^4[v_C^2(y_B(t_0))^2 + (v_B^2-v_C^2)(x_A(t_0))^2]\)</math>

Pour changer, on obtient une équation du second degré en <math>\(t_0\)</math> qu'il ne resterait plus qu'à résoudre...
Mais malgré toute la confiance en moi qui je puisse afficher, j'ai de sérieux doutes sur la simplicité de ma méthode et j'espère sincèrement qu'il y en a une autre .

En fait le premier truc a ce rentre compte, c'est que le fait que A bouge, on s'en fout Royalement!

Donc si je me plante pas:
on va dire que le droite suivant laquelle ce déplace b est x et a est y
on a une collision entre b et c au temps t qui est une inconue

on a le système d'équation
<math>\(x_{0_b}+V_{x_b} * t=x_{c_0}+V_{c_x} * t\)</math>

<math>\(y_{0_b}+V_{y_b} * t=y_{c_0}+V_{c_y} * t\)</math>

avec:
<math>\(x_{0_b}\)</math>la position initial de b en x
<math>\(x_{0_b}\)</math>la vitesse de b sur l'axe x
et tout le reste qui resemble à ca.

Or:
<math>\(y_{0_b}+V_{y_b} * t=0\)</math> ca pas de déplacement en y donc

<math>\(0=y_{c_0}+V_{c_y} * t\)</math>
et on sait que <math>\(Vc^2=V_{c_y}^2+V_{c_x}^2\)</math> (pythagore)

On peut exprimer Vcy en fonction de Vcx, on a donc une inconue: Vcx

on a donc pour inconue Vcx et t

tu vérifie que j'ai pas fait d'erreur a la con et tu résoud.

Si, le fait que A bouge importe : le point C ne part pas forcément du point A au temps <math>\(t = 0\)</math>, précisément. Donc lorsque le point C part du point A, la position de A par rapport à B change selon <math>\(t\)</math>.
Le temps <math>\(t\)</math> qui est ici recherché n'est pas celui de la collision (qui n'a même pas forcément lieu d'ailleurs...), mais bien celui auquel C doit partir de A pour arriver sur B le plus vite possible.

En gros, tu as répondu à la question (non posée) : si C part de A au temps <math>\(t=0\)</math>, au bout de combien de temps rejoindra-t-il B ?
(Et vu la vitesse de C comparée à celle de B, ça ne risquerait pas d'arriver ici je pense...)

@Cyprien_ :
Voilà ce que donne la résolution de ta dernière équation par solveur :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=% [...] -35*x%29^2%29
Avec Va=Vb=35km/h Vc=1.5km/H xo=6.5km y0=24km
Il semblerait donc qu'il y ait une erreur quelque part (peut-être dans mon recopiage )

Pour ce qui est de ta méthode je ne comprend pas pourquoi tu cherches à résoudre f'(t)-1=0 ?

Eh bien, tu cherches à minimiser la fonction <math>\(t \mapsto f(t) - t\)</math>, donc pour ça, tu recherches les racines de la dérivée de cette fonction, sa dérivée étant <math>\(t \mapsto f'(t) - 1\)</math>.

Et effectivement, il y a toutes les chances pour que je me suis planté quelque part hein, j'ai tout fait ici dans le formulaire, donc ce n'est pas forcément propice à une rigueur extrême .
Comme je l'ai dit, le but était surtout d'inspirer une méthode de résolution...