Bonjour/Bonsoir tout le monde mon prof de math nous à poser une question a moi et ma classe et il nous a posé une belle colle.
La question est quel est la probabilité en distribuant les 52 cartes (donc sons joker) à 4 joueurs (donc 13 cartes par joueurs) que chaque joueurs est un As mon problème c'est que avec 52 cartes les combinaisons son immense alors autant avec 3 dès c'est simple mais la je suis coincé....
Merci a tous ceux qui m'aideront
PS: je suis qu'en première alors peut être que vous trouverez ma question simple et stupide
Ça n'est pas plus compliqué avec 52 cartes que 12 cartes. Il faut trouver le bon raisonnement. Il y a combien de façons d'étaler 52 cartes sur une table en ligne? Tu devrais le savoir, c'est 52! (factorielles). Tu peux les répartir arbitrairement en 4 zones de 13 cartes. Maintenant, tu dois avoir un As pour chaque joueur, mais ça pourrait être n'importe quelle combinaison. J'ai 4! façons de placer 4 cartes (les As). Il me reste 52-4=48 cartes à placer de façon arbitraire. Donc, le nombre de façons de faire ça est: 4! * 48! et tu dois diviser ça par le nombre total de possibilités, soit 52! La probabilité sera donc: 4!*48! / 52! Tu n'as probablement pas à faire le calcul, juste donner l'expression. Ça n'est pas si horrible à caldculer, 48! se simplifie avec 52! pour donner en dénominateur: 52*51*50*49 et 4! donne 24 4*3*2*1 / 52*51*50*49 = 1 / 13*17*25*49 je te laisse finir le calcul ...
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
On peut le faire dans les 'grandes largeurs' : Quels sont toutes les dispositions possibles pour les 4 As :
Les 4 as chez le même joueur dans le même paquet ; 3 as chez un joueur et 1 as chez un autre joueur ; 2 as chez un joueur et 2 as chez un 2ème joueur etc etc ... jusqu'à la rpartition la plus équilibrée , 1 as chez chaque joueur.
On n'a pas des tonnes de combinaisons, une dizaine, donc proba = 1/10 semble plus cohérent que proba 2/10000.
Quand on a dit que proba 2/10000 était suspect, il faut maintenant trouver l'erreur de raisonnement dans le calcul qui donne 2/10000 ...
Ici,on a dit :
J'ai 52 cartes, Je dispose mes 52 cartes en 4 rangées de 13 cartes ; Sur chaque rangée, j'ai la 1ère case et j'ai les 12 autres. De combien de façons peut on disposer les cartes pour avoir :
Rangée 1, case 1 , un as, et rangée 1, dans les 12 autres cases, une carte autre.
Puis idem sur les 3 autres rangées.
Ce n'est pas bon. Dans la rangée 1, l'as peut être sur la 1ère case, mais rien n'interdit qu'il soit dans les autres cases. Il faut donc multiplier par 13.
Et rebelote, multiplier par 13 pour chaque rangée .
On peut le faire dans les 'grandes largeurs' : Quels sont toutes les dispositions possibles pour les 4 As :
Les 4 as chez le même joueur dans le même paquet ; 3 as chez un joueur et 1 as chez un autre joueur ; 2 as chez un joueur et 2 as chez un 2ème joueur etc etc ... jusqu'à la rpartition la plus équilibrée , 1 as chez chaque joueur.
On n'a pas des tonnes de combinaisons, une dizaine, donc proba = 1/10 semble plus cohérent que proba 2/10000.
Quand on a dit que proba 2/10000 était suspect, il faut maintenant trouver l'erreur de raisonnement dans le calcul qui donne 2/10000 ...
Ici,on a dit :
J'ai 52 cartes, Je dispose mes 52 cartes en 4 rangées de 13 cartes ; Sur chaque rangée, j'ai la 1ère case et j'ai les 12 autres. De combien de façons peut on disposer les cartes pour avoir :
Rangée 1, case 1 , un as, et rangée 1, dans les 12 autres cases, une carte autre.
Puis idem sur les 3 autres rangées.
Ce n'est pas bon. Dans la rangée 1, l'as peut être sur la 1ère case, mais rien n'interdit qu'il soit dans les autres cases. Il faut donc multiplier par 13.
Et rebelote, multiplier par 13 pour chaque rangée .
Proba = 4! * 13^4 *48! / 52! = 0.105498
bah j'effectue le même calcule que toi, mais cela me paraissait bizarre.
En tout , le nombre de dispositions possible, c'est 52!
Parmi toutes ces dispositions, combien convienent ( 1 as pour chaque joueur ?)
Je reprends ma présentation, avec 4 rangées de 13 cartes.
J'ai mon jeu dans les mains, avec les 4 as, puis les 4 rois les 4 dames etc etc.
Je peux placer l'as de Pique où je veux. 52 possibilités.
Pour l'as de Coeur, il me reste 39 possibilités
Pour l'as de Carreau, il me reste 26 possibilités
Pour l'as de Trèfle, il me reste 13 possibilités
Pour le roi de pique, j'ai 48 possibilités, puis 47 , 46 etc etc .
Nombre de cas 'favorables' = 52*39*26*13*48! Et on retrouve la probabilité de 0.105498.
C'est probablement plus naturel de présenter le calcul comme ça. Dans la présentation précédente, je raccrochais les wagons entre les 2 calculs, mais c'était du bricolage.
Il y a une méthode pour résoudre ce genre de problème : la construction des mains.
Avec un jeu de 52 cartes, 4 joueurs, toutes les cartes à distribuer avec la contraintes que chaque joueur doit avoir exactement 1 as dans sa main:
pour le premier joueur tu dois choisir 1 as parmi 4 (les 4 as) et 12 cartes parmi 48 (les cartes qui ne sont pas des as) → nombre M1 de mains pour le joueur 1 = cnp(4,1)*cnp(48,12) = 4*48!/(36!12!)
pour le second joueur tu n'as plus le choix que de choisir 1 as parmi les 3 restant et 12 autres cartes parmi les 48-12=36 cartes qui n'en sont pas → nombre M2 de mains pour le joueur 2 cnp(3,1)*cnp(36,12)=3*36!/(24!12!)
pour le troisième joueur tu n'as plus le choix que de choisir 1 as parmi les 2 restant et 12 autres cartes parmi les 36-12=24 cartes qui n'en sont pas → nombre M3 de mains pour le joueur 2 cnp(2,1)*cnp(24,12)=2*24!/(12!12!)
Pour le quatrième joueur plus aucun choix : 1 parmi 1 as et 12 cartes parmi 12 → cnp(1,1)*cnp(12,12) = 1*12!/(12!1!) = 1
Le nombre total T de mains sans la contrainte de l'as est (on distribue 13 cartes parmi 52 au premier puis 13 parmi 52-13=39 cartes puis 13 parmi 39-13=26 puis les 13 restantes) : cnp(52,13)*cnp(39,13)*cnp(26,13)*cnp(13,13)
Du coup tu construis la (longue) expression M1×M2×M3 / T et tu vois que ça se simplifie en 13⁴/cnp(52,4)=0.105
C'est plus long, mais c'est plus méthodique je trouve.
Cette dernière formuler peut d'ailleurs s'interpréter comme quelle est la probabilité d'avoir 4 valeurs de cartes, chaque carte étant d'une couleur unique, préalablement choisies en tirant 4 cartes d'un jeu de 52 cartes ?
La probabilité que chacun ait 1 as est la même que un ait le roi de cœur, un autre le 7 de trèfle, encore un autre le 10 de pique et le dernier un as de carreau …
Probabilité et As
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Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
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