Bonjour amis Zéro!
Je suis étudiant en première année de licence physique chimie, j'ai quelques difficultés en Optique, si un esprit aviser pourrait m'aider cela serait assez fantastique.

L'exercice propose d'étudier un rayon incident <math>\(AO\)</math> et un rayon réfléchie <math>\(OP\)</math>, ayant comme projeté respectif <math>\({x}_{A},{x}_{B},{y}_{A},{y}_{B}\)</math>. Nous cherchons à retrouver la Loi de la Réfraction (qui postule <math>\({\theta}_{1} = {\theta}_{2}\)</math> soit l'angle du rayon incident prend le même angle que le rayon réfléchiew réfléchie), tout l'exercice ce passe en milieu homogène <math>\(n\)</math>.

A partir du chemin Optique:
<math>\(L = n.AO + n.OB\)</math> et nous déduisons <math>\(\frac{\partial L}{\partial x}=0\)</math>.
De ceci, notre prof m'a sortit LA phrase qui tue tout!:
<math>\(\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial {\theta}_{1}}{\partial x}.\frac{\partial L}{\partial{\theta}_{1}}+\frac{\partial {\theta}_{2}}{\partial x}.\frac{\partial L}{\partial{\theta}_{2}}\)</math>, en simplifiant les <math>\(\theta\)</math> s'en vont et me laissent face à ma première incompréhension, je ne comprend pas d'où il me sort sa, je pense qu'il me manque un gros point théorique quand aux dérivées partiels

La dérivée du chemin optique en fonction des deux angles donne grâce aux relation trigo:
<math>\(\frac{\partial L}{\partial {\theta}_{1}} = n.{y}_{A}.\frac{\sin{\theta}_{1}}{{\cos}^{2}{\theta}_{1}}\)</math> et <math>\(\frac{\partial L}{\partial {\theta}_{2}} = n.{y}_{B}.\frac{\sin{\theta}_{2}}{{\cos}^{2}{\theta}_{2}}\)</math>
Il en suit un phrase que je comprend encore moins:

<math>\(\frac{1}{{\cos}^{2}{\theta}_{1}}.\frac{\partial L}{\partial {\theta}_{1}}=\frac{\partial \tan {\theta}_{1}}{\partial x}\)</math>
Je ne comprend pas que ce vient faire le <math>\(\frac{\partial L}{\partial {\theta}_{1}}\)</math> ici, n'y aurait'il pas une histoire de coordonnée polaire?
Bref, je patauge un peu, d'hab le théorique c'est mon fort mais la...
J'espere avoir été compréhensible.

Merci d'avance de vos réponse et super cette section!

Je peux au moins expliquer le second point. En effet, la dérivée par raport à theta de la tangente, c'est

<math>\(\frac{d}{d\theta}(\tan{\theta})= \frac{1}{\cos^2{\theta}}\)</math>

Donc en fait, quand il écrit sa ligne bizzare, comme tu dit, il fait juste renter la tangente à l'intérieur, ce qui me semble logique, en fait.

Quand au premier point, j'ai une possible idée. En effet, en ce qui concerne les dérivées partielles, on à ce genre d'expressions un peu bizarre, àmon avis, L est une fonction qui dépend de theta_1 et theta_2, ce qui est logique, vu que tu l'as écrit toi-même (et que j'imagine que AO et OP sont des hypoténuses de triangles rectangles, y'a donc de la relation trigonométrique dans l'histoire). Le prof est obligé d'utiliser les dérivées partielles vu que ta fonction dépend de 2 variables.

A noter qu'a mon avis, il ne déduit pas que <math>\(\frac{\partial L}{\partial x}=0\)</math>, il le propose, et ce surement à cause du théorème de Fermat, mais je me trompe peut-être.

Pour le premier point, en effet c'est sa, je l'avais pas vu c'est imparable
<math>\((\tan x)'=(\frac{\sin x}{\cos x})'=\frac{1}{{\cos}^{2}x}\)</math>

Après pour le deuxième c'est en effet sa, mon prof nous à parler de relation trigo, mais nous sommes "en retard" donc il c'est mit en mode écriture, du coup pas de rappel trigo.
Je devrai peut être chercher dans cette direction alors:

<math>\(\frac{\partial\theta}{\partial x}?=\frac{1}{{\cos}^{2}\theta}\)</math>

T'as pas un truc comme <math>\(x = y . tan(\theta{})\)</math> ?

Je ne comprends pas ce qui te pose problème ?
Si cela vient de la première ligne de calcul, il s'agit d'un résultat portant sur le changement de variable pour les fonctions à plusieurs variables.
En gros tu peux ici simplifier en voyant ça comme une composition de fonctions : <math>\(x(\theta_1, \theta_2)\)</math> et L(x).

Edit :
Il existe une démonstration un peu plus parlante de cette relation :

Tu considères deux trajets lumineux très proche (le premier part de A, réflexion en I et va vers B, le second part de A, réflexion en J et va vers B). Le théorème de Fermat te dit que le chemin suivit par la lumière rend stationnaire le chemin optique L=n(AI.u+IB.v) (où u et v sont tes vecteurs directeurs).

On a donc pour le second rayon
L'+dL=n(AJ.(u+du)+JB.(v+dv)

On en déduit facilement que dL=n(u-v).IJ=0 d'après Fermat ou encore u=v (il s'agit de vecteurs hein ).

Donc les angles sont égaux.

ce qui me pose probleme est que je ne comprend pas comment il fait apparaitre sont <math>\(\frac{1}{{\cos}^{2} x}\)</math>
Tadzoa, merci de ton aide aussi, je vai chercher aujourd'hui du coté de Fermat et du changement de variable.
Le fait que <math>\(\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\)</math> me parrait assez logique c'est la suite qui l'est un peu moins.
Je vous tient au courant de l'évolution de cette exo!

Merci encore!
Désirez vous que je mette la démo entière?

Oui. Mais un scan, c'est suffisant.

Exprime L en fonction des y et des <math>\(\theta\)</math> et tout devrait devenir à peu près clair.

Ma feuille de TD <-- Voila le lien vers mon TD

Je retrouve la même démonstration sur Wikiversity

Bon j'ai chercher un peu et j'ai trouver quelque chose:
En réaliter nous prenons l'exercice avec L extremal (c'est pour cela que <math>\(\frac{\partial L}{\partial x} = O\)</math>!!!) et donc nous prendrons un rayon incident ayant pour angle <math>\({\theta}_{1} = -\frac{\pi}{2}\)</math>, conséquence:
<math>\(\frac{1}{{\cos}^{2}{\theta}_{1}}=1 \Rightarrow \frac{1}{{\cos}^{2}{\theta}_{1}}.\frac{\partial L}{\partial{\theta}_{1}}=\frac{\partial \tan {\theta}_{1}}{\partial x}\)</math>
Je sait maintenant que l'égalité est vrai, mais je ne comprend toujours pas pourquoi <math>\(\frac{1}{{\cos}^{2}{\theta}_{1}}\)</math> est la.

Ceci dit c'est déja un peu plus clair

Citation : Rentinco

Bon j'ai chercher un peu et j'ai trouver quelque chose:
En réaliter nous prenons l'exercice avec L extremal (c'est pour cela que <math>\(\frac{\partial L}{\partial x} = O\)</math>!!!)

Ben oui, et même qu'il doit être minimal, ça doit être dans ton cours ça hein. Et même que dans le 2ème ou 3ème post quelqu'un te l'a fait remarqué...

Citation : Rentinco

et donc nous prendrons un rayon incident ayant pour angle <math>\({\theta}_{1} = -\frac{\pi}{2}\)</math>, conséquence:
<math>\(\frac{1}{{\cos}^{2}{\theta}_{1}}=1 \Rightarrow \frac{1}{{\cos}^{2}{\theta}_{1}}.\frac{\partial L}{\partial{\theta}_{1}}=\frac{\partial \tan {\theta}_{1}}{\partial x}\)</math>

Non pas du tout.

Comme je l'ai dit : tu devrais exprimer L en fonction de <math>\(\theta_1\)</math> et <math>\(\theta_2\)</math>, <math>\(y_1\)</math> et <math>\(y_2\)</math>. J'ai pas vraiment envi de te détailler le calcul en LaTeX, mais je pense que tu devrais te l'écrire sur une feuille et essayer de le faire puisque :

Citation : rentinco

Bref, je patauge un peu, d'hab le théorique c'est mon fort mais la...

Et que ça m'étonnerait que ça reste le cas longtemps si tu as du mal avec la trigo et les dérivées.

Et ces qualités en théorique auraient sans doute dû te faire remarquer que soit ton prof s'est planté, soit tu t'es planté en recopiant, puisque ce qui t'intéresse là c'est <math>\(\frac{\partial \theta_{1}}{\partial x}\)</math>, vu que c'est ce que tu déduis du fameux calcul qui te pose problème... Il s'agit en réalité d'une simple astuce pour connaître cette dérivée partielle.

Citation : freudqo

Citation : rentinco

Bref, je patauge un peu, d'hab le théorique c'est mon fort mais la...

Et que ça m'étonnerait que ça reste le cas longtemps si tu as du mal avec la trigo et les dérivées.

Et ces qualités en théorique auraient sans doute dû te faire remarquer que soit ton prof s'est planté, soit tu t'es planté en recopiant, puisque ce qui t'intéresse là c'est <math>\(\frac{\partial \theta_{1}}{\partial x}\)</math>, vu que c'est ce que tu déduis du fameux calcul qui te pose problème... Il s'agit en réalité d'une simple astuce pour connaître cette dérivée partielle.

Désolé, tout ne me saute pas aux yeux, et je travail quand même en parallèle, j'ai fait un Bac-S et jusqu'à présent je n'avait pas travailler avec ces dérivées partiel, donc oui je galère
Je vais comparer ma copie avec celle d'autres élèves et continuer a plancher.
Et le mieux reste que j'en parle a mon prof de TD avant le partiel (aie aie aie).
Merci de votre aide !